Exercícios Resolvidos de Introdução à Funções Vetoriais

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Enunciado

Considere o campo F   :   R ²   →   R ² dado por: F ( x ,   y )   =   (   8   +   y   ²   −   3 x ²   ,   e y   +   2 x y   +   y e - 2 y )

Determine se F é conservativo e encontre todas as funções potenciais associadas a F.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos define um campo vetorial que, para cada ponto (x,y) do plano cartesiano nos retorna um vetor de duas componentes dada pela função F. Agora, a gente tem que determinar se o campo vetorial F é conservativo. Mas quando um campo vetorial é conservativo? Quando a integral de linha dele entre dois pontos não depende do caminho! Ou seja, entre dois pontos A e B, não importa por onde integramos F, sua integral só depende do ponto inicial e final.

Isso ocorre quando o campo vetorial pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial

F = ∇ V = ∂ V ∂ x ,   ∂ V ∂ y

Então, tudo que precisamos fazer é verificar se as componentes de F correspondem às derivadas parciais de algum campo escalar V. Para isso, vamos precisar integrar as componentes de F. Então, bora lá!

Passo 2

Como a componente x da função F é dada por   8   +   y   ²   −   3 x ² , temos que sua integral em relação à x, onde consideramos y como constante, é dada por

∫   8   +   y   ²   −   3 x ² d x = 8 x + y ² x - x ³ + C ( y )

Onde C(y) é a constante de integração da integral indefinida acima que pode ser uma função de y, já que estamos integrando apenas em x. Agora, precisamos fazer a mesma coisa para a componente y de F, dessa vez, integrada em y, considerando x como constante. Integrando, obtemos

∫ e y   +   2 x y   +   y e - 2 y d y = e y + x y ² + ∫ y e - 2 y d y

Integrando por parte o último termo, temos

∫   y e - 2 y d y = - y e - 2 y 2 + ∫ e - 2 y 2 d y = - y e - 2 y 2 - 1 4 e - 2 y

Então, a integral da componente F y em relação à y é dada por

∫ e y   +   2 x y   +   y e - 2 y d y = e y + x y ² - y e - 2 y 2 - 1 4 e - 2 y + C ( x )

Da expressão para a integral de F x   vemos que a função C(x) deve ser algo da forma C ( x ) = 8 x - x ³ . Por outro lado, da integral para F y , vemos que a função C(y) deve ser da forma

C ( y ) = e y - e - 2 y 2 y + 1 2 . Como uma família de funções tem a mesma derivada devido a um termo constante cte, temos que os potenciais V tais que seus gradientes nos geram o campo vetorial F são da forma:

V ( x , y ) = 8 x - x ³ + x y ² + e y - e - 2 y 2 y + 1 2   +   c t e

Se derivarmos V em relação à x, obtemos a componente F x   , e se derivarmos V em relação à y, obtemos a componente F y   , para qualquer que seja o valor da constante cte. Ou seja, o campo vetorial F pode ser escrito como o gradiente de um potencial V e, portanto, é conservativo.

Resposta

F é conservativo.

V ( x , y ) = 8 x - x ³ + x y ² + e y - e - 2 y 2 y + 1 2   +   c t e

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