Exercícios Resolvidos de Introdução à Funções Vetoriais

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Enunciado

Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f

  1. F x , y , z = 3 x y ² z ² i + 2 x ² y z ³ j + 3 x ² y ² z ² k

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para determinarmos se o campo vetorial é conservativo, vamos ter que encontrar:

F = ∇ f

F = F 1 , F 2 , F 3 = d f d x , d f d y , d f d z

Com isso vamos poder calcular.

Passo 2

Vamos começar determinando cada componente:

F = F 1 , F 2 , F 3 = d f d x , d f d y , d f d z

F x , y , z = 3 x y ² z ² i + 2 x ² y z ³ j + 3 x ² y ² z ² k

Igualando as componentes:

d f d x = 3 x y ² z ²

d f d y = 2 x ² y z ³

d f d z = 3 x ² y ² z ²

E para resolver, vamos integrar cada uma:

f = ∫ 3 x y ² z ² d x = 3 x 2 y 2 z 2 2 + A ( y , z )

f = ∫ 2 x ² y z ³ d y = x ² y ² z ³ + B ( x , z )

f = ∫ 3 x ² y ² z ² d z = x ² y ² z ³ + C ( x , y )

Reparem que nós não temos nenhum termo em comum nas três f . Isso significa que o campo vetorial da nossa função não é conservativo.

Resposta

C a m p o   n ã o   é   c o n s e r v a t i v o

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