Exercícios Resolvidos de Introdução à Funções Vetoriais

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Enunciado

(Capítulo 13.2 – Exercício 36) Calcule a integral.

∫ 0 1 4 1 + t 2 j + 2 t 1 + t 2   k d t

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Partiu resolver mais uma questãozinha?

Pra esse exercício aqui, queremos calcular uma inegral, então vamos utilizar as regrinhas de integral que constam na literatura.

Então, antes de tudo, a gente deve identificar que tipo de integral teremos que aplicar, para saber por onde começar. Antes de calcularmos qualquer integral, é sempre bom fazer essa identificação, pra gente não acabar perdendo tempo e paciência aplicando regrinhas que não servem no caso estudado.

Então, olhando pra integral dada no enunciado, a gente pode ver a soma de dois vetores j e k . Isso mostra que faremos a integral de uma função vetorial!

A integral de uma função vetorial é obtida integrando-se seus componentes ( j e k ). Então, vamos ter que:

∫ 0 1 4 1 + t 2 j + 2 t 1 + t 2   k d t

= ∫ 0 1 4 * 1 1 + t 2 j + 2 * t 1 + t 2   k d t

= 4 ∫ 0 1 1 1 + t 2 d t j + 2 ∫ 0 1 t 1 + t 2 d t k

Observe que a integral da soma é a soma das integrais, então abrimos a integral original em duas. Além disso, como o 4 e o 2 são constantes, eles podem sair de dentro da integral. Então vamos ter 2 integrais mais simples pra resolver.

Passo 2

A Além disso, vamos observar também, que a primeira integral vai ser bem fácil porque ela é tabelada e vai ser igual à: t g - 1   x .

∫ 1 1 + t 2 = t g - 1   x .

Já a segunda pode ser calculada por substituição.

Passo 3

Continuando a resolução, vamos calcular separadamente a integral por substituição:

2 ∫ 0 1 t 1 + t 2 d t

Vamos assumir u = 1 + t 2 , para substituirmos na integral, e em seguida calcularemos sua derivada:

d u d t = 2 u     →       d t = d u 2 u

Então

t   d t = d u 2

Com isso, vamos reescrever nossa integral:

2 ∫ t 1 + t 2 d t = 2 ∫ 1 u d u 2 = 2 ∫ 1 2 u d u

Vemos acima que podemos tirar da integral mais uma constante:

2 * 1 2 ∫ 1 u d u       →       ∫ 1 u d u

A integral acima é tabelada, então, temos que:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Substituindo o valor de u novamente:

ln ⁡ u = ln ⁡ 1 + t 2 + C

Passo 4

Ao aplicar as observações feitas no primeiro passo, e a integral encontrada acima, temos que:

= 4 t g - 1 t 0 1   j + ln ⁡ 1 + t 2 0 1 k

= 4 ( t g - 1 1 ) - ( t g - 1 0 ) j + [ ln ⁡ 2 - l n 1 ] k

= 4 π 4 - 0 j + l n 2 - 0 k

= π j + ln ⁡ 2   k

Prontinho!!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

π j + ln ⁡ 2   k

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