Exercícios Resolvidos de Introdução à Funções Vetoriais

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Enunciado

Determine e esboce o domínio da função

F x , y = 1 1 - ( x 2 + y 2 )   , x y , y x

Passo 1

Primeiramente vamos identificar f 1 , f 2 e f 3

f 1 x , y = 1 1 - ( x 2 + y 2 )

f 2 x , y = x y

f 3 x , y = y x

Agora, quais são as restrições de cada uma delas?

Passo 2

Para f 1 temos uma raíz no denominador. Então sabemos que o que tem dentro da raiz tem que ser maior ou igual a zero, mas ao mesmo tempo tem que ser diferente de zero pois estão no denominador.

Assim

1 - x 2 + y 2 > 0

x 2 + y 2 < 1

D o m f 1 = x , y ∈ R 2     x 2 + y 2 < 1 }

Passo 3

Para f 2 temos x no numerador e y no denominador, portanto, x não tem nenhuma restrição, mas y tem que ser diferente de zero.

Assim

D o m f 2 = x , y ∈ R 2     y ≠ 0 }

Passo 4

Para f 3 temos y no numerador e x no denominador, portanto, y não tem nenhuma restrição, mas x tem que ser diferente de zero.

Assim

D o m f 3 = x , y ∈ R 2     x ≠ 0 }

Passo 5

A interseção dos dois domínios fica:

D o m F = x , y ∈ R 2     x 2 + y 2 < 1   ,   x ≠ 0   e   y ≠ 0 }

Graficamente teremos o disco x 2 + y 2 < 1 , sem as bordas, pois a desigualdade é apenas menor que 1 e sem os eixos x e y pois ambos tem que ser diferentes de zero.

Resposta

D o m F = x , y ∈ R 2     x 2 + y 2 < 1   ,   x ≠ 0   e   y ≠ 0 }

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