Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções Vetoriais

Elaboração Própria

Determine e esboce a imagem da função vetorial

F x , y = x , y , 1 - x 2 9 + y 2 4 1 / 2

Passo 1

Nossa imagem é o vetor

F x , y = x , y , 1 - x 2 9 + y 2 4 1 / 2

Precisamos então achar uma relação entre as componentes desse vetor.

Como temos uma função vetorial de 2 variáveis, essa relação definirá uma superfície, que será a nossa imagem.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Observe que se chamarmos a terceira componente de z , temos

z = 1 - x 2 9 + y 2 4 1 / 2

z 2 = 1 - x 2 9 + y 2 4

E essa é a relação entre as três componentes da nossa função vetorial.

Passo 3

Maaas, ela ainda não nos diz muita coisa. Então, podemos mexer mais um pouquinho nela e vê onde chegamos.

z 2 = 1 - x 2 9 + y 2 4

x 2 9 + y 2 4 + z 2 = 1

OPA OPA! Isso ai já é alguma coisa!

E essa alguma coisa é um elipsoide, de centro na origem com focos 9 = 3 em x , 4 = 2 em y e 1 em z .

PORÉM! Repare que como na função vetorial original temos uma raiz quadrada em z, o elipsoide só vai pegar a parte positiva do eixo z.

Esboçando isso, temos:

Resposta

A imagem de F é o semi-elipsoide:

x 2 9 + y 2 4 + z 2 = 1 ,   z 0

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