Exercícios Resolvidos de Lei de Ampère em Solenóides e Toróides

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Enunciado

(Capítulo 29.5 – Exercício 53) Um solenoide longo tem 100   e s p i r a s / c m e conduz uma corrente i . Um elétron se move no interior do solenoide em uma circunferência 2,30   c m de raio perpendicular ao eixo do solenoide. A velocidade do elétron é 0,0460 c ( c é a velocidade da luz). Determine a corrente i no solenoide.

Passo 1

Helloooo pessoal!

Vamos lá, temos um solenoide de 100 espiras por centímetro, e ele conduz uma corrente i , que é quem queremos determinar

O campo magnético dentro do solenoide é calculado através da lei de Àmpere, traçando uma amperiana retangular como demonstrado na figura abaixo.

Escrevemos ∮ B . d S como a soma de quatro integrais, uma para cada segmento da amperiana:

∮ B . d S = ∮ a b B → . d S → + ∮ b c B → . d S → + ∮ c d B → . d S → + ∮ d a B → . d S →

- A primeira integral do lado direita é B h , onde B é o módulo do campo uniforme B → no interior do solenoide e h é o comprimento (arbitrário) do segmento a b .

- A segunda e a quarta integral são nulas porque, para os elementos d s desses segmentos, B → é perpendicular a d s ou é zero e, portanto, o produto escalar B → . d S → é zero.

- A terceira integral, que envolve um segmento do lado de fora do solenoide também é nula porque B = 0 em todos os pontos do lado de fora do solenoide.

Assim, o valor de ∮ B → . d S → para toda a amperiana é B h

Portanto, pela Lei de Ámpere:

∮ B . d S = B . h = μ o ∙ i e n v

Passo 2

Temos:

∮ B . d S = B . h = μ o ∙ i e n v

A corrente total i e n v envolvida pela amperiana retangular não é igual à corrente i nas espiras do solenoide porque as espiras passam mais de uma vez pela amperiana. Seja n o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide, nesse caso, a amperiana envolve n h espiras e, portanto,

i e n v = i ( n h )

De acordo com a lei de Àmpere:

B h = μ o ∙ i ∙ n ∙ h

Cortando o h dos dois lados:

B = μ o i ∙ n

Passo 3

Como o raio da órbita do elétron é:

r = m v e B

Substituindo B = μ o i ∙ n :

r = m v e μ o n i

Isolando i :

i = m v e μ o n r

Teremos o seguinte valor para a corrente:

i = m v e μ o n r = 9,11 × 10 - 31   k g 0,0460 3,00 × 10 8 m s 1,60 × 10 - 19   C 4 π × 10 - 7   T . m A 100 0,0100 m 2,30 × 10 - 2   m

i = 0,272   A

Fechou?

Resposta

A corrente que passa pelo solenoide é:

i = 0,272   A

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