Exercícios Resolvidos de Lei de Ampère em Solenóides e Toróides

PUC-RIO – Física 3 2020.1 – P2– Questão 6

Dois solenoides cilíndricos, de raios a   e   b   ( =   3   a ) e comprimento   Z   ( o n d e   Z   > >   a , b ) são colocados um dentro do outro, como mostra a figura ao lado. O solenoide de raio   a tem n a espiras por unidade de comprimento e o solenoide de raio b possui n b   =   n a   /   9 espiras por unidade de comprimento.

No instante t   =   0 , os terminais do solenoide de raio b (o maior) são ligados a uma bateria de f . e . m . V e um resistor   R , como mostra a Figura 2.

  1. Escreva a expressão para a corrente i b ( t ) no solenoide de raio b em função do tempo.
  2. Escreva a expressão para o fluxo magnético total no solenoide de raio a em função do tempo.
  3. Escreva a expressão para o módulo da d d p entre os terminais d solenoide de raio a , mostrados como A e B na figura 2 em função do tempo.
  4. Suponha que forças externas agindo uniformemente sobre o aro, na direção radial, são responsáveis pelo aumento do raio do aro. Calcule a potência P e x t ( t ) em um certo instante de tempo t que as forças externas realizam sobre o aro. Despreze qualquer energia elástica do material que constitui o aro. É possível dizer que P e x t t = P d i s s ( t ) ? Justifique sua afirmação.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

A indutância desse solenoide é L , então a corrente obedece a seguinte equação diferencial:

L d i b d t + R   i b = V

No instante t = 0 temos i b = 0 , então agora é resolver essa equação:

d i b d t = 1 L V - R i b = V L 1 - R i b V

d i b 1 - R i b V = V L d t

E integrando dos dois lados temos:

- V R ln ⁡ 1 - R i b V = V L t

ln ⁡ 1 - R i b V = - R L t

1 - R i b V = e - R L t

E isolando a corrente temos:

i b = V R 1 - e - R L t

E agora para encontrar o valor de L fazemos assim:

L i b = Z n b B π b 2 = Z n b μ 0 i b n b π b 2

L = Z μ 0 n b 2 π b 2

E a corrente por fim é:

i b = V R 1 - e - 9 R t Z μ 0 n 2 π a 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra (b):

O fluxo magnético no solenoide interno é:

Φ a = Z n a B π a 2 = Z n a μ 0 i b n b π a 2

Φ a = Z μ 0 n a 2 π a 2 V 9 R 1 - e - 9 R t Z μ 0 n 2 π a 2

Tranquilo? Vamos para o último item?

Passo 3

Letra (c):

E a ddp no solenoide de raio a pode ser encontrada por meio da derivada temporal do fluxo que a gente acabou de encontrar:

ϵ = - d Φ a d t = V e - 9 R t Z μ 0 n 2 π a 2

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a )   V R 1 - e - 9 R t Z μ 0 n 2 π a 2

b ) Z μ 0 n a 2 π a 2 V 9 R 1 - e - 9 R t Z μ 0 n 2 π a 2

c ) V e - 9 R t Z μ 0 n 2 π a 2

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