Exercícios Resolvidos de Lei de Ampère em Solenóides e Toróides

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Enunciado

Um solenóide longo de raio a é posicionado no interior de um segundo solenóide longo de raio b   ( b > a ) , de forma que seus eixos sejam coincidentes com o eixo Z de um sistema de coordenadas cartesianas. O número de espiras por unidade de comprimento em cada solenóide vale n 1 e n 2 , respectivamente. Suponha que os solenóides podem ser tratados como infinitos e que o enrolamento dos fios é compacto. Quando conveniente, considere um segmento de solenóide de comprimento l nas análises.

( c ) Determine a indutância mútua por unidade de comprimento entre o solenóide externo e o solenóide interno.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Esse é um problema longo com várias alternativas, então vamos com calma, tudo bem? O enunciado começa nos apresentando dois solenóides coaxiais de raio a e raio b ( b > a ) . O que isso quer dizer? Quer dizer que temos um solenóide dentro do outro, de forma que o campo magnético gerado por eles ao passarmos uma corrente elétrica estarão na mesma direção Z . Um solenóide é um objeto físico que pode ser representado da seguinte maneira

Os fios em amarelo são percorridos pela corrente, e as linhas de campo magnético em verde dependem do sentido em que essa corrente percorre (em nosso caso temos um desses solenóides dentro do outro). A intensidade do campo magnético depende intimamente da densidade de espiras por unidade comprimento, em nosso caso n 1 e n 2 , para o solenóide menor e maior respectivamente!

Esta alternativa nos pede

( c ) Determine a indutância mútua por unidade de comprimento entre o solenóide externo e o solenóide interno.

Finalmente o solenóide interno vai fazer alguma diferença! A indutância mútua é uma constante que depende da geometria de ambas os solenóides, ela é definida da seguinte maneira

M = N 1 ϕ 1 i 2 = N 2 ϕ 2 i 1

Mas onde está a geometria??? Temos ali o número de espiras total N , o fluxo total do campo magnético gerado por cada solenóide ϕ e a corrente elétrica que percorre os solenóides i . A geometria surge quando escrevemos a corrente e o fluxo em termos do campo magnético e da área transversal dos solenóides! Usando a definição de densidade de espiras por unidade de comprimento

n = N l

temos que a indutância-mútua por unidade comprimento será

M l = n 1 ϕ 1 i 2 = n 2 ϕ 2 i 1

Vamos tentar calcular essa grandeza em termos do que temos no enunciado!

Passo 2

Para um solenóide longo, temos que o fluxo do campo magnético de cada circuito será

ϕ m a i o r = n 2 A | B → m e n o r |

e

ϕ m e n o r = n 1 A | B → m a i o r |

aqui é importante que tome um certo cuidado! Note que A não é simplesmente a área transversal do solenóide, mas a área atravessada pelo campo magnético!!! Como o campo magnético menor está delimitado a região do pequeno solenóide, temos que em ambos os casos, obtemos que

A = π a 2

sendo assim, como calculamos na primeira alternativa, temos que a intensidade do campo magnético será dada por

| B → | = μ 0 n   I

e, portanto, os fluxos serão

ϕ m a i o r = π μ 0 n 1 n 2 a 2 i m e n o r e ϕ m e n o r = π μ 0 n 1 n 2 a 2 i m a i o r

Vamos voltar para a definição da indutância mútua agora!

Passo 3

Note que o fluxo sobre o solenóide menor é devido a corrente no solenóide maior,

M l = n 1 ϕ m e n o r i m a i o r = n 1 ( π μ 0 n 1 n 2 a 2 i m a i o r ) i m a i o r

simplificando, temos então que

M l = π μ 0 n 2 n 1 2 a 2

Essa alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

M l = π μ 0 n 2 n 1 2 a 2

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