Exercícios Resolvidos de Lei de Ampère em Solenóides e Toróides

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Enunciado

Um solenoide toroidal, mostrado na figura 1 e em corte transversal na figura 2 , contém N espiras e é percorrido por uma corrente I . O núcleo do solenoide está preenchido por ar ( μ a r = μ 0 ) .

(a) Calcule o vetor campo magnético B → ( 0 ,   y ,   0 ) em coordenadas cartesianas ( isto é na forma B → = B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) ao longo do eixo y para y ≥ 0 .

(b) Constrói-se um outro solenoide toroidal com as mesmas dimensões do solenoide da figura mas com um núcleo de aço inoxidável de permeabilidade μ = 80 μ 0 . Passando a mesma corrente pelos dois solenoides, calcule a relação entre o número de espiras N a ç o e N a r no solenoide com núcleo de aço e com núcleo de ar, respectivamente, para produzir o mesmo campo magnético B nos núcleos dos dois solenoides.

Passo 1

a) Sabemos que o solenoide toroidal da figura 1 possui simetria esférica, portanto:

B → = B r θ ^

Usando a lei de Ampère com um caminho circular de raio r , conforme a figura, obtemos

∮ B →   .   d l → =   ∮ B   d l = B r 2 π r = μ 0 N I   ⟹ B → = μ 0 N I 2 π r θ ^

Sobre o eixo y , o campo magnético aponta para baixo, ou seja, na direção - i ^

B → 0 , y , 0 = - μ 0 N I 2 π r i ^

Sabendo que este resultado vale somente para b < r < b + a (dentro do solenóide), para r < b ou r > b + 2 a (fora do solenoide), a corrente total I = 0 e então:

B r 2 π r = μ 0 N I   ⟹ B → = 0 →

Organizando os resultados então, agora em função de y , como foi pedido:

B → 0 , y , 0 =   0 →   s e   0 ≤ y < b - μ 0 N I 2 π y i ^   s e   b < y < b + 2 a   d e n t r o   d o   s o l e n o i d e 0 →   s e   y < b + 2 a

Passo 2

(b) O campo dentro do solenoide com núcleo de aço é B → a ç o = K m B → a r = μ μ 0 B → a r , ou seja, basta substituir μ 0 por μ na expressão do item (a).

⟹ B a ç o = μ N a ç o I 2 π r

Como queremos o caso que B a ç o = B a r , obtemos

μ N a ç o I 2 π r = μ 0 N a r I 2 π r   ⟹ N a ç o N a r = μ 0 μ = 1 80

Resposta

a) B → 0 , y , 0 =   0 →   s e   0 ≤ y < b - μ 0 N I 2 π y i ^   s e   b < y < b + 2 a 0 →   s e   y < b + 2 a

b) 1 80

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