Exercícios Resolvidos de Lei de Ampère em Solenóides e Toróides

Ufpe - Física 3 – PF 2018.1 -3

A porção superior da figura abaixo mostra parte de um toróide de seção retangular, de raio interno a , raio externo b e espessura h . Tal toróide contém N espiras conectadas, percorridas por uma corrente elétrica I . Uma ilustração representativa da configuração geométrica de todo o toróide é dada na porção inferior da figura. Considere que a permeabilidade magnética do vácuo é dada por μ 0 .

  1. Usando a lei de Ampère, calcule o módulo do campo magnético a uma distância r do eixo de simetria que passa pelo centro do toróide, onde a ≤ r ≤ b .
  2. Calcule o módulo do fluxo magnético através de uma das espiras retangulares do toróide.
  3. Calcule a energia magnética armazenada no interior de todo o toróide.

Passo 1

Vamos tentar entender a situação do problema olhando para a figura abaixo. Representamos apenas uma seção transversal de um toróide, neste caso apenas metade do toróide e apenas algumas das espiras retangulares. Cada uma dessas N espiras transporta uma corrente I , que circula no sentido horário indicado na figura.

Por isso, pela regra da mão direita, o campo magnético que essas correntes geram está entrando no plano da página. Para facilitar nossa discussão, colocamos também a área   d A → sempre paralela ao campo magnético B → , como ilustrado na figura. Colocamos também uma área infinitesimal d A = d r d z pela qual o campo passará.

A corrente em cada uma das N espiras atravessará uma área definida pelo contorno fechado C , que está a uma distância r do eixo Z . CUIDADO: agora estamos falando da área delimitada pelo contorno C (nossa amperianda!), que é π r 2 , e não de d A = d z d r !! Repara que na figura mostramos apenas a metade dessa curva fechada C para facilitar o entendimento da questão, mas imagina essa curva C como um círculo de raio r .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) Para calcular o fluxo, precisamos do campo magnético produzido pelas correntes I nas N espiras. Para isso, vamos aplicar a lei de Ampère à nossa amperiana C .

Utilizando a figura acima e também a regra da mão direita, vemos que o campo está entrando no plano da página e é sempre paralelo ao elemento  d l → da curva C . Além disso, esse campo  B → tem o mesmo valor sobre todos os pontos de C , por isso podemos escrever o seguinte

  ∮ C B → . d l → = μ 0 I i n t e r i o r C   ⇒   B . 2 π r = μ 0 N I  

onde I i n t e r i o r C = N I é a corrente total que atravessa a área delimitada pela curva fechada C . Se a gente olha a curva fechada C de cima para baixo, “vamos enxergar” N correntes I atravessando a área do círculo C . Por isso é que temos

  I i n t e r i o r C = N I   .

Pegou essa ideia?

Então, continuando, obtemos o seguinte módulo para o campo magnético

B = μ 0 N I 2 π r   .

No caso de um toróide ideal, esse campo magnético que encontramos fica todo concentrado na região a ≤ r ≤ b e não há campo magnético que “vaza” para a região r ≤ a nem para r ≥ b .

Passo 3

b) Tendo o valor do campo gerado pela corrente que passa nas N espiras, podemos encontrar o fluxo magnético através de uma espira retangular. Como o elemento de área d A = d z   d r é sempre paralelo a B → e este tem o mesmo valor em todos os pontos da amperiana C , temos que

Φ B = ∫ B → . d A → = ∫ B A   .

Aqui, não podemos tirar o campo magnético B da integral, já que sua expressão depende da distância r , como obtivemos no Passo 2. Por essa razão, B não tem o mesmo valor em todos os pontos.

Agora, dá uma olhada lá na figura e repara que, neste sistema de coordenadas, o elemento infinitesimal de área atravessada pelo campo magnético é d A = d r d z . Por isso, substituindo a expressão para B que encontramos, o fluxo através de uma espira retangular é:

Φ B = ∫ B A =   μ 0 N I 2 π ∫ 0 h d z   ∫ a b d r r

Resolvendo a integral acima, obtemos que o fluxo magnético através de apenas uma das espiras do toróide é:

Φ B = μ 0 N I 2 π h ln ⁡ b a

Embora esse fluxo magnética dependa de N , que é o número de espiras, Φ B é o fluxo através de uma única espira e esse N que aparece aí é por causa do campo que as N correntes I produzem em a ≤ r ≤ b .

Passo 4

c) Para encontrarmos qual é a energia U B armazenada no campo magnético no interior do toróide, precisamos calcular a sua autoindutância, já que temos a seguinte relação:

U B = L I 2 2   .

O problema nos informa I , mas não sabemos ainda a expressão para L . Então, para obter L , vamos começar nossa solução pela expressão do fluxo magnético total Φ B , t o t a l   e sua relação com a autoindutância L de acordo com

Φ B , t o t a l = ∫ A B → . d A → = L I   ,

sendo que I é corrente que percorre cada uma das N espiras retangulares do toróide.

Como o campo magnético fica todo concentrado dentro da região a ≤ r ≤ b , o fluxo total do campo magnético é igual a N vezes o fluxo através de uma única espira. Por isso, já usando a expressão que encontramos no final do Passo 3, teremos:

Φ B , t o t a l = N Φ B = μ 0 N 2 h 2 π ln ⁡ b a I = L I   ,

que nos dá a autoindutância

L = μ 0 N 2 h 2 π ln ⁡ b a

Com isso, fechamos a questão, uma vez que a energia total armazenada no campo magnético do torólide é:

U B = L I 2 2 = μ 0 N 2 h I 2 4 π ln ⁡ b a

Resposta

  1. B = μ 0 N I 2 π r   ;  
  2. Φ B = μ 0 N I 2 π h ln ⁡ b a
  3. U B = L I 2 2 = μ 0 N 2 h I 2 4 π ln ⁡ b a

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas