Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

27) Considere as matrizes:

A = 3 4 1 2 - 7 - 1 8 1 5 B = 8 1 5 2 - 7 - 1 3 4 1 C = 3 4 1 2 - 7 - 1 2 - 7 3

Encontre matrizes elementares E 1 ,   E 2 ,   E 3 e E 4 tais que:

(d) E 4 C = A

Passo 1

Alooo, é aqui que temos alunos aplicadíssimos e animados com essa questão??

Ebaa, é sim!! Vamos então…

Avaliando o nosso item d, podemos fazer a seguinte manipulação:

E 4 = A C

Parece que resolvemos o nosso problema, não é?

Mas na verdade, esse exercício não é tão simples quanto parece. Quando falamos de matrizes, essa é uma operação que não é definida. Pelo menos não diretamente. Uma forma de resolvermos essa divisão é com a seguinte multiplicação:

E 4 = A * C - 1

Bacana, mas agora ficou pior ainda... O que significa C - 1 ?

Essa é a matriz inversa de C . E veja, matriz inversa é completamente diferente de matriz transposta.

Uma matriz inversa nada mais é uma matriz que, quando multiplicada pela sua original, resulta em uma matriz identidade.

Nos próximos passos, então, vamos ver como encontrar a matriz inversa para que possamos calcular a nossa E 4 .

Passo 2

Nós faremos uma matriz mista entre a nossa matriz C e uma matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas).

Ficando assim:

3 4 1 2 - 7 - 1 2 - 7 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1

A partir deste ponto, faremos manipulações de matrizes elementares, ou seja, alteraremos ambas as matrizes da mesma forma, com uma das três substituições possíveis. O nosso objetivo aqui é deixar a matriz do lado esquerdo como uma matriz identidade. Já a parte do lado direito será exatamente a nossa matriz inversa!

Antes de continuar, vamos relembrar quais são as substituições possíveis para as matrizes elementares.

Em resumo, podemos fazer as seguintes mudanças:

Podemos trocar uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna).

Ou podemos multiplicar uma linha (ou coluna) por um valor α ∈ R ;

E quando somamos uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor α ∈ R , com outra linha (ou coluna.)

Passo 3

Além disso, precisamos sempre definir um foco e alvos dentro da matriz. O foco sempre será um valor (desejável que seja 1 ) que usaremos como referência para as nossas substituições e os focos serão os valores que desejamos alterar para 0 .

Resolvendo o exercício esse conceito ficará mais fácil de ser entendido. Então, vamos nessa!

(Obs.: lembre-se que tudo que for alterado na parte esquerda da matriz mista deve ser alterada na parte direita).

O nome desse método que utilizaremos é Eliminação de Gauss-Jordan.

Portanto, vamos começar com:

L 1 → 1 3 * L 1

Então:

1 4 3 1 3 2 - 7 - 1 2 - 7 3 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1

Esse número 1 que apareceu no primeiro elemento da matriz será o nosso foco. Já os valores abaixo da diagonal principal serão os nossos primeiros alvos.

Relembrando que nossa intenção será sempre criar uma matriz identidade à esquerda.

Passo 4

Agora faremos as seguintes substituições:

L 2 → L 2 - 2 * L 1 L 3 → L 3 - 2 * L 1

Então:

1 4 3 1 3 0 - 29 3 - 5 3 0 - 29 3 7 3 1 3 0 0 - 2 3 1 0 - 2 3 0 1

Agora faremos a seguinte substituição:

L 2 → - 3 29 * L 2

Então:

1 4 3 1 3 0 1 5 29 0 - 29 3 7 3 1 3 0 0 2 29 - 3 29 0 - 2 3 0 1

Agora faremos a seguinte substituição:

L 3 → L 3 + 29 3 * L 2

Então:

1 4 3 1 3 0 1 5 29 0 0 4 1 3 0 0 2 29 - 3 29 0 0 - 1 1

Agora faremos a seguinte substituição:

L 3 → 1 4 * L 3

Então:

1 4 3 1 3 0 1 5 29 0 0 1 1 3 0 0 2 29 - 3 29 0 0 - 1 4 1 4

Passo 5

Como já fizemos todos os elementos abaixo da diagonal principal (na parte esquerda) se tornarem iguais a 0 , vamos usar o último elemento da matriz como foco e vamos alterar os elementos acima da diagonal principal.

Ou seja:

L 2 = L 2 - 5 29 * L 3 L 1 = L 1 - 1 3 * L 3

Então:

1 4 3 0 0 1 0 0 0 1 1 3 1 12 - 1 12 2 29 - 7 116 - 5 116 0 - 1 4 1 4

E por fim faremos a seguinte substituição:

L 1 → L 1 - 4 3 * L 2

Então:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 7 29 19 1 16 - 3 1 16 2 29 - 7 116 - 5 116 0 - 1 4 1 4

Ufa, encontramos a nossa inversa:

C - 1 = 7 29 19 116 - 3 116 2 29 - 7 116 - 5 116 0 - 1 4 1 4

Passo 6

Finalmente poderemos encontrar E 4 .

Como definimos que:

E 4 = A * C - 1

Então:

E 4 = 3 4 1 2 - 7 - 1 8 1 5 * 7 29 19 116 - 3 116 2 29 - 7 116 - 5 116 0 - 1 4 1 4

Resolvendo o produto:

E 4 = 3 * 7 29 + 4 * 2 29 + 1 * 0 3 * 19 116 + 4 * - 7 116 + 1 * - 1 4 3 * - 3 116 + 4 * - 5 116 + 1 * 1 4 2 * 7 29 - 7 * 2 29 - 1 * 0 2 * 19 116 - 7 * - 7 116 - 1 * - 1 4 2 * - 3 116 - 7 * - 5 116 - 1 * 1 4 8 * 7 29 + 1 * 2 29 + 5 * 0 8 * 19 116 + 1 * - 7 116 + 5 * - 1 4 8 * - 3 116 + 1 * - 5 116 + 5 * 1 4

Executando as multiplicações e somas encontraremos:

E 4 = 1 0 0 0 1 0 2 0 1

Essa matriz é elementar! Encontramos a solução do exercício!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

E 4 = 1 0 0 0 1 0 2 0 1

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