Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

No escalonamento da matriz A, que tem formato 3x3, foram permutadas as linhas 1 e 2 e, em seguida, a linha 3 foi substituída pela linha 3 menos o dobro da (nova) linha 1. A matriz resultante pode ser expressa na forma do seguinte produto de matrizes:

(a) 0 1 0 1 0 - 2 0 0 1 A

(b) 0 1 0 1 0 0 0 - 2 1 A

(c) 0 1 0 1 0 0 - 2 0 1 A

(d) 0 1 - 2 1 0 0 0 0 1 A

Passo 1

O enunciado diz que as operações elementares feitas foram:

Passo 1 (i) L 1 ← L 2

Passo (ii) L 3 ← L 3 + ( - 2 ) L 1

Agora vamos ver como podemos representar esses passos em termos de matrizes elementares.

Passo 2

No primeiro passo, a troca das linhas 1 e 2 é feita pela matriz:

E 1 = 0 1 0 1 0 0 0 0 1

Já no segundo, temos a matriz elementar:

E 2 = 1 0 0 0 1 0 - 2 0 1

Passo 3

Agora basta multiplicar a matriz A pelas matrizes elementares na ordem das operações para obter a matriz escalonada! Assim:

E 2 E 1 A = U

1 0 0 0 1 0 - 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 A = U

0 1 0 1 0 0 0 - 2 1 A = U

E a resposta está na letra (b).

Resposta

(b) 0 1 0 1 0 0 0 - 2 1 A

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