Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan:

c)

x - y + 2 z - w = - 1

2 x + y - 2 z - 2 w = - 2

- x + 2 y - 4 z + w = - 1

3 x - 3 w = - 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Analisando o sistema, vamos escrever sua matriz aumentada correspondente:

1 - 1 2 - 1 - 1 2 1 - 2 - 2 - 2 - 1 2 - 4 1 - 1 3 0 0 - 3 - 3

O enunciado pede pra gente resolver através da eliminação de Gauss-Jordan. Esse método de resolução realiza operações entre as linhas a fim de transformar essa matriz de coeficientes (que escrevemos acima) em uma matriz identidade.

Vamos chamar a linha de L e escrever cada operação entre uma matriz e outra na forma:

L   q u e   s e r á   a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

Para dar mais fluidez ao exercício. Vamos lá!

Passo 2

Lembre-se que nosso objetivo é transformar a matriz na matriz identidade. Então, a primeira coisa que vamos fazer é zera os elementos abaixo do pivô na linha 1. Para isso, vamos fazer:

1 - 1 2 - 1 - 1 2 1 - 2 - 2 - 2 - 1 2 - 4 1 - 1 3 0 0 - 3 - 3 ⟶ L 2 → L 2 - 2 L 1 1 - 1 2 - 1 - 1 0 3 - 6 0 0 - 1 2 - 4 1 - 1 3 0 0 - 3 - 3

Na terceira linha, vamos zerar o primeiro elemento também:

1 - 1 2 - 1 - 1 0 3 - 6 0 0 - 1 2 - 4 1 - 1 3 0 0 - 3 - 3 ⟶ L 3 → L 3 + L 1 1 - 1 2 - 1 - 1 0 3 - 6 0 0 0 1 - 2 0 - 2 3 0 0 - 3 - 3

E na linha 4:

1 - 1 2 - 1 - 1 0 3 - 6 0 0 0 1 - 2 0 - 2 3 0 0 - 3 - 3 ⟶ L 4 → L 4 - 3 L 1 1 - 1 2 - 1 - 1 0 3 - 6 0 0 0 1 - 2 0 - 2 0 3 - 6 0 0

Vamos partir para a segunda coluna.

Passo 3

Vamos começar transformando o pivô da segunda linha em 1:

1 - 1 2 - 1 - 1 0 3 - 6 0 0 0 1 - 2 0 - 2 0 3 - 6 0 0 ⟶ L 2 → 1 3 L 2 1 - 1 2 - 1 - 1 0 1 - 2 0 0 0 1 - 2 0 - 2 0 3 - 6 0 0

Agora vamos zerar os elementos abaixo e acima desse pivô:

1 - 1 2 - 1 - 1 0 1 - 2 0 0 0 1 - 2 0 - 2 0 3 - 6 0 0 ⟶ L 1 → L 1 + L 2 1 0 0 - 1 - 1 0 1 - 2 0 0 0 1 - 2 0 - 2 0 3 - 6 0 0

Fazendo para a linha 3:

1 0 0 - 1 - 1 0 1 - 2 0 0 0 1 - 2 0 - 2 0 3 - 6 0 0 ⟶ L 3 → L 3 - L 2 1 0 0 - 1 - 1 0 1 - 2 0 0 0 0 0 0 - 2 0 3 - 6 0 0

Antes de fazer para a linha 4, nós percebemos que chegamos uma inconsistência. Observe que o resultado da linha 3 corresponde a:

0 x + 0 y + 0 z + 0 w = - 2

Não dá para ter 0 = - 2 . Logo, a solução do nosso sistema é impossível.

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

O   s i s t e m a   t e m   s o l u ç ã o   i m p o s s í v e l

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