Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan:

a)

x 1 + x 2 + 2 x 3 = - 8

- x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = - 1

3 x 1 - 7 x 2 + 4 x 3 = - 10

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Analisando o sistema, vamos escrever sua matriz aumentada correspondente:

1 1 2 - 8 - 1 - 2 3 - 1 3 - 7 4 - 1 0

O enunciado pede pra gente resolver através da eliminação de Gauss-Jordan. Esse método de resolução realiza operações entre as linhas a fim de transformar essa matriz de coeficientes (que escrevemos acima) em uma matriz identidade.

Vamos chamar a linha de L e escrever cada operação entre uma matriz e outra na forma:

L   q u e   s e r á   a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

Para dar mais fluidez ao exercício. Vamos lá!

Passo 2

Lembre-se que nosso objetivo é transformar a matriz na matriz identidade. Então, a primeira coisa que vamos fazer é zerar o primeiro elemento da linha 2. Para isso, vamos fazer:

1 1 2 - 8 - 1 - 2 3 - 1 3 - 7 4 - 10 ⟶ L 2 → L 2 + L 1 1 1 2 - 8 0 - 1 5 - 9 3 - 7 4 - 10

Agora vamos zerar o primeiro elemento da terceira linha:

1 1 2 - 8 0 - 1 5 - 9 3 - 7 4 - 10 ⟶ L 3 → L 3 - 3 L 1 1 1 2 - 8 0 - 1 5 - 9 0 - 10 - 2 14

Vamos partir para a segunda coluna.

Passo 3

A matriz identidade tem a diagonal principal formada por 1. Para ficar igual, vamos apenas alterar o sinal do pivô na segunda linha, que é - 1 , fazendo:

1 1 2 - 8 0 - 1 5 - 9 0 - 10 - 2 14 ⟶ L 2 → - L 2 1 1 2 - 8 0 1 - 5 9 0 - 10 - 2 14

E zerar o primeiro elemento da segunda coluna:

1 1 2 - 8 0 1 - 5 9 0 - 10 - 2 14 ⟶ L 1 → L 1 - L 2 1 0 7 - 17 0 1 - 5 9 0 - 10 - 2 14

Agora zeramos o último elemento da segunda coluna:

1 0 7 - 17 0 1 - 5 9 0 - 10 - 2 14 ⟶ L 3 → L 3 + 10 L 2 1 0 7 - 17 0 1 - 5 9 0 0 - 5 2 10 4

Agora repare que o pivô da terceira linha é - 52 e nós temos que transformar esse pivô em 1 . Então, vamos fazer:

1 0 7 - 17 0 1 - 5 9 0 0 - 52 104 ⟶ L 3 → - 1 52 ∙ L 3 1 0 7 - 17 0 1 - 5 9 0 0 1 - 2

Já tá ficando com cara de matriz identidade, só falta zerar os dois elementos acima do pivô na terceira linha. Vamos fazer então:

1 0 7 - 17 0 1 - 5 9 0 0 1 - 2 L 1 → L 1 - 7 L 3 L 2 → L 2 + 5 L 3 1 0 0 - 3 0 1 0 - 1 0 0 1 - 2

Agora basta transformar de novo num sistema linear, onde temos:

x 1 = - 3

x 2 = - 1

x 3 = - 2

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

x 1 = - 3

x 2 = - 1

x 3 = - 2

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