Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

40) Uma matriz quadrada A é chamada anti-simétrica se A T = - A . Prove:

(a) Se A é uma matriz anti-simétrica invertível, então A - 1 é anti-simétrica.

Passo 1

Oi pessoal, como vão?? Me contaram aqui que vocês estão suuuper animados com essa resolução, felizes pra caramba, como nunca estiveram!! 

Não quero saber de desânimo!! Bora transformar ela em algo legal e mais atrativo? hahahaha a gente consegue, acreditem!! Bora lá!! 

O enunciado nos dá que A é uma matriz anti-simétrica, e que esta é invertível.

Além disso, ele nos afirma também que uma matriz é anti-simétrica se A T = - A , ou seja, se a sua transposta é igual a matriz oposta.

Agora, precisamos utilizar essa informação, para provar que A - 1 é anti-simétrica.

Mas como vamos fazer isso?

Vamos começar fazendo algumas análises.

Passo 2

Nós já sabemos que A é uma matriz anti-simétrica.

Além disso, tomando A - 1 que é a inversa da matriz A , temos como uma propriedade das inversas que a matriz transposta de uma matriz inversa, também é inversa: A T - 1 = A - 1 T

Então, se a matriz A é anti-simétrica e a matriz transposta da matriz inversa de A também é inversa, temos que A - 1 é anti-simétrica!

Uhul!! Terminamos pessoal!

Bora lá pra próxima então?

Resposta

D e m o n s t r a d o   n o s   p a s s o s   a c i m a .

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