Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

23) (b) Encontre uma matriz não-nula A de tamanho 3   x   3 tal que A T = - A .

Passo 1

Oieee, galera linda do Responde Aí. Tudo bem por aí?

Eu não quero ninguém aqui assim:

Quero todo mundo felizãaao, ainda mais depois de resolvermos mais essa! Bora lá então.

Esse exercício nos pede uma matriz não nula com tamanho 3   x   3 (3 linhas e 3 colunas). Sendo que quando encontramos a transposta dessa matriz, temos a mesma matriz inicial, porém multiplicada por - 1 .

Parece confuso, não é? Mas calma! Esse exercício não tem segredo.

Vamos usar o conceito de diagonal principal, termos acima e termos abaixo da diagonal principal para encontrarmos essas matrizes.

Passo 2

Vamos considerar a seguinte matriz:

S =                  

O primeiro ponto a observarmos é que a diagonal principal não muda quando fazemos a sua transposição. Então, como precisamos do valor original multiplicado por - 1 seja igual ao valor original, o único valor que podemos adotar é 0 . Ou seja, se transpormos a matriz S e multiplicarmos por - 1 , ainda teremos 0 .

Então:

S = 0         0         0  

Passo 3

Olhando para os termos acima da diagonal principal, vamos definir alguns valores:

S = 0   1   2     0   3       0  

Agora, para os termos abaixo da diagonal principal, precisamos colocar os valores aplicados anteriormente (acima da diagonal principal), porém multiplicados por - 1 . Ficará “simétrico”, porém com o sinal invertido:

S = 0   1   2   - 1   0   3   - 2   - 3   0  

Para esse tipo de matriz, damos o nome de Anti-simétrica.

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a Matriz Transposta para verificarmos se aconteceu o que esperamos:

S T = 0   - 1   - 2   1   0   - 3   2   3   0  

Perfeito, exatamente o que gostaríamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

Resposta no desenvolvimento acima.

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