Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan:

b)

2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 0

- 2 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 = - 1

8 x 1 + x 2 + 4 x 3 = - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Analisando o sistema, vamos escrever sua matriz aumentada correspondente:

2 2 2 0 - 2 5 2 - 1 8 1 4 - 1

O enunciado pede pra gente resolver através da eliminação de Gauss-Jordan. Esse método de resolução realiza operações entre as linhas a fim de transformar essa matriz de coeficientes (que escrevemos acima) em uma matriz identidade.

Vamos chamar a linha de L e escrever cada operação entre uma matriz e outra na forma:

L   q u e   s e r á   a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

Para dar mais fluidez ao exercício. Vamos lá!

Passo 2

Lembre-se que nosso objetivo é transformar a matriz na matriz identidade. Então, a primeira coisa que vamos fazer é transformar o pivô da primeira linha em 1 . Para isso, vamos fazer:

2 2 2 0 - 2 5 2 - 1 8 1 4 - 1 ⟶ L 1 → 1 2 L 1 1 1 1 0 - 2 5 2 - 1 8 1 4 - 1

Agora queremos zerar os elementos abaixo desse pivô:

1 1 1 0 - 2 5 2 - 1 8 1 4 - 1 L 2 → L 2 + 2 L 1 L 3 → L 3 - 8 L 1 1 1 1 0 0 7 4 - 1 0 - 7 - 4 - 1

Vamos partir para a segunda coluna.

Passo 3

Vamos começar zerando o último elemento da segunda coluna:

1 1 1 0 0 7 4 - 1 0 - 7 - 4 - 1 ⟶ L 3 → L 3 + L 2 1 1 1 0 0 7 4 - 1 0 0 0 - 2

E aí nós chegamos a um impasse, porque a última linha corresponde à equação:

0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = - 2

Não dá para 0 = - 2 , nós temos uma inconsistência. Logo, nosso sistema tem solução impossível.

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

O   s i s t e m a   t e m   s o l u ç ã o   i m p o s s í v e l

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