Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

25) Quais das seguintes matrizes são elementares:

1 0 - 5 1 1 0 0 3 1 0 0 0 1 9 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0

Passo 1

Opa pessoal, tudo bom?

Antes de você surtar lendo essa questão, vamos juntos fazer ela com calma, belezinha??

Para começar, vamos definir o que é uma matriz elementar.

Uma matriz é denominada como elementar se for obtida por meio de uma única mudança na matriz identidade.

Bacana, mas quais seriam essas mudanças possíveis?

Em resumo, podemos fazer as seguintes mudanças:

Podemos trocar uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna).

Ou podemos multiplicar uma linha (ou coluna) por um valor α ∈ R ;

E quando somamos uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor α ∈ R , com outra linha (ou coluna.)

Passo 2

Sabendo disso, vamos olhar a primeira matriz:

1 0 - 5 1

Como queremos saber se a matriz é elementar, temos que partir da matriz identidade:

1 0 0 1

Agora vamos procurar alguma substituição para essa matriz (conforme as três condições que relembramos no Passo 1).

Por exemplo, podemos trocar a linha 2 pela linha 2 mais a linha 1 vezes - 5 .

Em outras palavras, temos que:

L 2 ↔ L 2 + L 1 * ( - 5 )

Essa substituição é exatamente o que temos na nossa terceira condição.

E a matriz que resulta dessa operação é:

1 0 0 + 1 * ( - 5 ) 1 + 0 * ( - 5 )

Então:

1 0 - 5 1

Portanto, essa matriz é elementar!

Passo 3

Vamos, agora, olhar para a segunda matriz:

1 0 0 3

Da mesma forma, temos que partir da matriz identidade:

1 0 0 1

Para esse caso, vamos multiplicar a segunda coluna por 1 3 . Essa é a segunda substituição que apontamos no Passo 1. Portanto:

C 2 ↔ C 2 * 1 3

Vamos realizar a operação:

1 0 * 1 3 0 3 * 1 3

O resultado desse produto é:

1 0 0 1

Portanto, essa matriz é elementar!

Passo 4

Nesse passo, olharemos para a terceira matriz:

1 0 0 0 1 9 0 0 1

Mais uma vez, partiremos da matriz identidade:

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Aqui cabe a terceira substituição que apontamos no Passo 1 e que já usamos no Passo 2. Podemos trocar a terceira coluna pela terceira coluna mais a segunda coluna vezes 9 .

Onde podemos reescrever como:

C 3 ↔ C 3 + C 2 * 9

E a matriz que resulta dessa operação é:

1 0 0 + 0 * 9 0 1 0 + 1 * 9 0 0 1 + 0 * 9

Então:

1 0 0 0 1 9 0 0 1

Outra vez, a matriz é elementar!

Passo 5

Por fim, vamos avaliar a quarta matriz:

0 0 1 0 1 0 1 0 0

Para finalizar, vamos iniciar pela matriz identidade:

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Veja que se substituirmos a primeira linha pela terceira linha, teremos a primeira condição do Passo 1. Então:

L 1 ↔ L 3

Realizando a operação:

0 0 1 0 1 0 1 0 0

A matriz é elementar!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

Resposta no desenvolvimento acima.

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