Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

26) Encontre uma operação sobre as linhas que retorne a matriz elementar dada a uma matriz identidade.

1 0 - 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

Passo 1

Opa pessoal, tudo bom?

Antes de você surtar lendo essa questão, vamos juntos fazer ela com calma, belezinha??

Para começar, vamos definir o que é uma matriz elementar.

Uma matriz é denominada como elementar se for obtida por meio de uma única mudança na matriz identidade.

Bacana, mas quais seriam essas mudanças possíveis?

Em resumo, podemos fazer as seguintes mudanças:

Podemos trocar uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna).

Ou podemos multiplicar uma linha (ou coluna) por um valor α ∈ R ;

E quando somamos uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor α ∈ R , com outra linha (ou coluna.)

Passo 2

Agora que definimos as matrizes elementares, vamos partir para o que pede o nosso exercício. Para cada matriz, temos que definir qual foi a mudança realizada, seguindo essas três possibilidades que encontramos no Passo 1.

Para a primeira matriz:

1 0 - 3 1

Podemos ver que a segunda linha foi substituída pela segunda linha mais a primeira linha vezes - 3 . Em termos técnicos, dizemos que:

L 2 → L 2 + L 1 * - 3

Essa substituição atende exatamente a terceira condição que vimos no Passo 1.

Definimos a primeira operação.

Passo 3

Agora, a segunda matriz:

1 0 0 0 1 0 0 0 3

Podemos ver que a terceira linha foi substituída pela própria terceira linha vezes 3 .

Em termos técnicos, dizemos que:

L 3 → L 3 * 3

Essa substituição atende exatamente a primeira condição que vimos no Passo 1.

Definimos a segunda operação.

Passo 4

Agora, a terceira matriz:

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

Podemos ver que a primeira e a quarta linha estão trocadas para que se forme a matriz identidade.

Então, em termos técnicos, dizemos que:

L 1 ↔ L 4

Essa substituição atende exatamente a primeira condição do Passo 1.

E essa foi a última operação.

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

Resposta no desenvolvimento acima.

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