Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan:

d)

- 2 b + 3 c = 1

3 a + 6 b - 3 c = - 2

6 a + 6 b + 3 c = 5

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Analisando o sistema, vamos escrever sua matriz aumentada correspondente:

0 - 2 3 1 3 6 - 3 - 2 6 6 3 5

O enunciado pede pra gente resolver através da eliminação de Gauss-Jordan. Esse método de resolução realiza operações entre as linhas a fim de transformar essa matriz de coeficientes (que escrevemos acima) em uma matriz identidade.

Vamos chamar a linha de L e escrever cada operação entre uma matriz e outra na forma:

L   q u e   s e r á   a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

Para dar mais fluidez ao exercício. Vamos lá!

Passo 2

Lembre-se que nosso objetivo é transformar a matriz na matriz identidade. Nós precisamos ter 1 como pivô na primeira linha, então vamos começar trocando a linha 2 com a linha 1, para facilitar nossos cálculos:

0 - 2 3 1 3 6 - 3 - 2 6 6 3 5 ⟶ L 2 ↔ L 1 3 6 - 3 - 2 0 - 2 3 1 6 6 3 5

Agora vamos multiplicar a linha 1 por 1 / 3 :

3 6 - 3 - 2 0 - 2 3 1 6 6 3 5 ⟶ L 1 → 1 3 L 1 1 2 - 1 - 2 / 3 0 - 2 3 1 6 6 3 5

Agora, vamos zerar o último elemento da primeira coluna:

1 2 - 1 - 2 / 3 0 - 2 3 1 6 6 3 5 ⟶ L 3 → L 3 - 6 L 1 1 2 - 1 - 2 / 3 0 - 2 3 1 0 - 6 9 9

Vamos partir para a segunda coluna.

Passo 3

Vamos começar zerando o último elemento da segunda coluna:

1 2 - 1 - 2 / 3 0 - 2 3 1 0 - 6 9 9 ⟶ L 3 → L 3 - 3 L 2 1 2 - 1 - 2 / 3 0 - 2 3 1 0 0 0 6

Antes de fazer para a próxima linha, nós percebemos que chegamos a uma inconsistência. Observe que o resultado da linha 3 corresponde a:

0 a + 0 b + 0 c = 6

Não dá para ter 0 = 6 . Logo, a solução do nosso sistema é impossível.

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

O   s i s t e m a   é   i m p o s s í v e l

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