Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

20) Mostre que se uma matriz quadrada A satisfaz A 2 - 3 A + I = 0 , então A - 1 = 3 I - A .

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês?

Bora lá resolver mais uma questão!!

No primeiro passo vamos entender o que o exercício nos pede. Considerando uma matriz quadrada A genérica, que obedece a seguinte equação:

A 2 - 3 A + I = 0

Precisamos realizar as operações e determinar se a igualdade abaixo é correta:

A - 1 = 3 I - A

Apesar de ser um exercício clássico de matrizes, não utilizaremos elas de fato, apenas faremos algumas manipulações matemáticas para certificarmos a afirmação do enunciado.

Passo 2

A partir de agora, vamos olhar para

A 2 - 3 A + I = 0

Podemos reorganizar da seguinte maneira:

I = 3 A - A 2

Podemos colocar A em evidência:

I = A ( 3 I - A )

Obs.: Detalhe para quando tiramos A de 3 A . Nessa divisão temos por propriedade o aparecimento de I .

Agora podemos inserir A - 1 nos dois lados da equação:

A - 1 I = A - 1 A ( 3 I - A )

Passo 3

Temos um caso interessante aqui!

Percebemos do lado direito da equação o produto entre A - 1 e A . Isso é o produto entre uma matriz e sua inversa e o resultado sempre será uma matriz identidade.

Então:

A - 1 I = I ( 3 I - A )

Como multiplicar por I é o mesmo que multiplicar por 1 (ou seja, I é o elemento neutro multiplicativo das matrizes), temos:

A - 1 = 3 I - A

Bacana, né?

Isso significa que a proposição dada pelo enunciado é verdadeira!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

Resposta no texto.

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