Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

Sabendo que para escalonar totalmente uma matriz A foram realizados os seguintes processos:

L 2 → L 2 - L 1 2

L 3 → L 3 - 6 L 2

Encontre a matriz A .

Passo 1

Sabemos que esse escalonamento envolve 2 matrizes elementares (pois foram realizados apenas 2 processos). As matrizes elementares E 1 e E 2 satisfazem:

E 2 . E 1 . A = I

Onde I é a matriz identidade, já que a matriz A foi totalmente escalonada.

Para acharmos A , teremos:

A = E 1 - 1 . E 2 - 1 . I

Como a matriz identidade não muda nada, teremos apenas:

A = E 1 - 1 . E 2 - 1

Então só precisamos achar E 1 , E 2 e suas inversas fechou?

Passo 2

As matrizes E 1 e E 2 podem ser encontradas simplesmente com base nos processos dados pelo enunciado.

No caso, E 1 vai ser a matriz identidade 3 x 3 com a operação L 2 → L 2 - L 1 2 :

E 1 = 1 0 0 - 1 2 1 0 0 0 1

E E 2 vai ser a matriz identidade com L 3 → L 3 - 6 L 2 :

E 2 = 1 0 0 0 1 0 0 - 6 1

Agora é só invertermos essas matrizes :)

Passo 3

Pelas regrinhas que vimos lá na teoria, as matrizes invertidas vão ficar assim:

E 1 - 1 = 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1

E 2 - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 6 1

Agora é só aplicar em A = E 1 - 1 . E 2 - 1

Passo 4

Aplicando:

A = 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 . 1 0 0 0 1 0 0 6 1

Realizando essa multiplicação de matrizes, vamos ter:

A = 1 0 0 1 2 1 0 0 6 1

Resposta

A = 1 0 0 1 2 1 0 0 6 1

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