Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

A3 T14

Assinale o polinômio a x 2 + b x + c que melhor aproxima os pontos - 1,1 , 0,0 , 1,1 e 2,0 no sentido dos mínimos quadrados:

( a ) 2 x 5 + 1 5

( b ) x 2 + x + 1

( c ) x 2

( d ) - x 5 + 3 5

Passo 1

Ta, como transformamos esse problema em um de matrizes que sabemos resolver? Primeiro vamos substituis os pares x , y de valores que temos:

a x 2 + b x + c = y

a - b + c = 1

c = 0

a + b + c = 1

4 a + 2 b + c = 0

Então temos o sistema:

a - b + c = 1 c = 0 a + b + c = 1 4 a + 2 b + c = 0

Passando pra forma matricial:

1 - 1 1 0 0 1 1 1 1 4 2 1 a b c = 1 0 1 0

Beleza, pra acharmos a aproximação por mínimos quadrados é só usarmos nossa fórmula:

A T A x - = A T b

1 0 1 4 - 1 0 1 2 1 1 1 1 1 - 1 1 0 0 1 1 1 1 4 2 1 a b c = 1 0 1 4 - 1 0 1 2 1 1 1 1 1 0 1 0

18 8 6 8 6 2 6 2 4 a b c = 2 0 2

9 4 3 4 3 1 3 1 2 1 0 1 → L 2 ← 9 L 2 - 4 L 1 L 3 ← 3 L 3 - L 1 9 4 3 0 11 - 3 0 - 1 3 1 - 4 2 → L 3 ← 11 L 3 + L 2 9 4 3 0 11 - 3 0 0 30 1 - 4 18

30 c = 18

c = 18 30

c = 3 5

11 b - 3 c = - 4

11 b = - 4 + 9 5

11 b = - 11 5

b = - 1 5

9 a + 4 b + 3 c = 1

9 a - 4 5 + 9 5 = 1

9 a + 5 5 = 1

9 a = 0

a = 0

Logo, o polinômio que melhor aproxima os pontos é:

0 x 2 - 1 5 x + 3 5 = - x 5 + 3 5

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Resposta

Letra ( d )

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