Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

UFRJ, P3-2019.1

Uma empresa de filmes pela Internet registra índices de aceitação de cada cliente, com valores de 0 a 3 , para os tipos: comédia, ação e drama, e para tal guarda para cada cliente o vetor k c ,   k a ,   k d . Os dados dos 3 primeiros clientes são: 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   1 e 1 ,   1 ,   3 . Expresse k c como uma combinação linear de k a e k d e estime, pelo método dos Mínimos Quadrados, o índice k c de um quarto cliente, cujos gostos pelos filmes de ação e dramas são indicados por k a = 2 e k d = 3 :

  1. k c = 8 11 , aproxidamente, k c ≈ 0,7 .
  2. k c = 24 11 , aproxidamente, k c ≈ 2,2 .
  3. k c = 57 23 , aproxidamente, k c ≈ 2,5 .
  4. k c = 57 35 , aproxidamente, k c ≈ 1,6 .

Passo 1

Belezoca galerinha, temos que k c ,   k a ,   k d representa o índice de aceitação em cada estilo de filme, o enunciado disse pra gente k c é uma combinação linear de k a e k d , logo:

k c = a k a + b k d

Onde a   e   b são os coeficientes da combinação linear. Sabendo disso, o enunciado forneceu pra gente a avaliação de 3   clientes, dadas por 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   1 e 1 ,   1 ,   3 , e pediu pra estimar o índice k c de um quarto cliente, se k a = 2 e k d = 3 . Se a gente tentar encontrar os coeficientes a e b na força do ódio, teríamos as seguintes equações:

2 ,   1 ,   0 ⇒ 2 = a 1 + b 0

1 ,   2 ,   1 ⇒ 1 = a 2 + b 1

1 ,   1 ,   3 ⇒ 1 = a 1 + b 3

Juntando tudo:

2 = a + 0 b 1 = 2 a + b 1 = a + 3 b

Da primeira linha tiramos que a = 2 , e substituindo nas equações de baixo, temos que:

2 = a 1 = 2 2 + b 1 = 2 + 3 b

2 = a - 3 = b - 1 / 3 = 3 b

E DESCOBRIMOS QUE b = - 3 E b = - 1 / 3 , AO MESMO TEMPO!!!! Isso quer dizer que o sistema não possui solução. Mas isso não basta pra Álgebra Linear, se a solução não existe, a gente vai lá e faz ela existir, e justamente por isso criamos o método dos mínimos quadrados, pra aproximar uma solução em casos extremos como esse.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show de bola então galerinha, o método dos mínimos quadrados diz pra gente que dado um sistema sem solução

A x → = b →

Podemos aplicar a transposta dos dois lados em um vetor particular z → , desse jeito:

A T A z → = A T b →

Esse novo sistema vai possibilitar uma solução particular z → , e dado esse resultado, a solução inicial x → será a aproximação z → :

x → ≈ z →

Iradoso, agora que a gente sabe como que aplica o método, vamos levar ele pra dentro do nosso exercício. O sistema que a gente descobriu no Passo 1, foi:

a + 0 b = 2 2 a + b = 1 a + 3 b = 1

E passando ele pra forma de matriz, temos que:

a + 0 b = 2 2 a + b = 1 a + 3 b = 1 ⇒ 1 0 2 1 1 3 2 1 1

Ou melhor, expressando como um produto de matrizes, temos:

1 0 2 1 1 3 2 1 1 ⇒ 1 0 2 1 1 3 a b = 2 1 1

Dessa forma nossa matriz A e o vetor b → são:

A = 1 0 2 1 1 3 ,     b → = 2 1 1

Passo 3

Xuxu beleza, colocando essas informações do Passo 2, dentro do método, temos que:

A T A z → = A T b →

1 2 1 0 1 3 1 0 2 1 1 3 z → = 1 2 1 0 1 3 2 1 1

Vamos chamar z → = x ,   y , logo:

1 2 1 0 1 3 1 0 2 1 1 3 x y = 1 2 1 0 1 3 2 1 1

Resolvendo esse produto de matrizes, temos que:

6 5 5 10 x y = 5 4

E agora sim, esse sistema vai possibilitar pra gente uma solução. Escalonando o sistema, temos:

6 5 5 10 x y = 5 4 ⇒ 6 5 5 10 5 4

6 5 5 10 5 4 ⇒   L 2 = 1 5 L 2 = 6 5 1 2 5 4 / 5

6 5 1 2 5 4 / 5 ⇒   L 1 = L 1 - 6 L 2   = 0 - 7 1 2 - 1 / 5 4 / 5

Então na primeira linha tiramos que:

- 7 y = - 1 5

Logo:

y = 1 35

E substituindo esse resultado na segunda linha, temos:

x + 2 y = 4 5

x + 2 1 35 = 4 5

x = 28 35 - 2 35

x = 26 35

Logo:

z → = 26 35 1 35

z → ≈ x →

x → ≈ 26 35 1 35

Passo 4

Então voltando para a questão inicial sobre o índice dos filmes, tínhamos que o índice k c era:

k c = a k a + b k d

E como acabamos de descobrir, a = 26 / 35 e b = 1 / 35 , então:

k c = 26 35 k a + 1 35 k d

E se k a = 2 e k d = 3 , temos que:

k c = 26 35 2 + 1 35 3

k c = 54 35 + 3 35

k c = 57 35

Resposta certa, letra (d).

Resposta

Letra (d).

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