Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

UFRJ, P3-2019.1

Calcule a equação da reta que melhor aproxima os pontos 0 ,   0 ,   1,2 ,   2 ,   1 pelo método dos mínimos quadrados:

  1. y = x 2 + 1 2
  2. y = x + 1 2
  3. y = x 3 + 1 2
  4. y = x

Passo 1

Belejóia galerinha a equação geral da reta é dada por:

y = a x + b

E queremos aproximar os pontos do tipo x ,   y , tais que:

0 ,   0 ,     1,2 ,     2 ,   1

Ou seja, podemos montar um sisteminha desse jeito:

0 = a 0 + b 2 = a 1 + b 1 = a 2 + b

E se a gente pegar a primeira linha vamos ter que:

0 = 0 a + b

b = 0

E jogando esse resultado na segunda linha:

2 = a + 0

a = 2

MAAASSS, se a gente jogar na terceira linha, vamos ter:

1 = 2 a + 0

a = 1 2

Então isso quer dizer que nosso sistema NÃO TEM SOLUÇÃO!!! Maass para a Álgebra iss não basta, se o sistema não tem solução a gente faz ele ter, e pra isso temos o Método dos Mínimos Quadrados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se a gente montasse uma matriz com o sistema:

0 = a 0 + b 2 = a 1 + b 1 = a 2 + b

Teríamos:

a 0 b a 1 b a 2 b 0 2 1 ⇒ 0 1 1 1 2 1 0 2 1

0 1 1 1 2 1 0 2 1 ⇒ 0 1 1 1 2 1 a b = 0 2 1

Belezoca e agora que a mágica acontece, por que o método do mínimos quadrados diz que dado um sistema sem solução:

A x → = b →

Podemos aproximar uma solução z → tal que:

A T A z → = A T b →

Então aplicando isso no nosso sistema 0 1 1 1 2 1 a b = 0 2 1 , temos que:

0 1 2 1 1 1 0 1 1 1 2 1 a b ' = 0 1 2 1 1 1 0 2 1

Resolvendo essas multiplicações, temos:

5 3 3 3 a b ' = 4 3

Portanto, se a gente aplicar a matriz inversa de 5 3 3 3 , dos dois lados, vamos ter:

5 3 3 3 - 1 5 3 3 3 ⏝ I d e n t i d a d e a b ' = 5 3 3 3 - 1 4 3

a b ' = 5 3 3 3 - 1 4 3

E aplicando o algoritmo da inversa, descobrimos que:

a b c d - 1 = 1 det ⁡ A d - b - c a

Logo:

5 3 3 3 - 1 = 1 3 5 - 3 3 3 - 3 - 3 5

5 3 3 3 - 1 = 1 6 3 - 3 - 3 5

Passo 3

Portanto, a solução particular do nosso sistema é:

a b ' = 5 3 3 3 - 1 4 3

a b ' = 1 6 3 - 3 - 3 5 4 3

a b ' = 1 6 3 3

a b ' = 1 2 1 1

Onde a ' = 1 2   e b ' = 1 2 , logo:

y = a ' x + b '

y = x 2 + 1 2

Resposta cera, letra (a).

Resposta

Letra (a).

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