Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

A equação que modela um determinado fenômeno físico é dada pela função f x = a x 3 + b . Alguns experimentos foram realizados com os seguintes resultados:

Os valores de a e b de forma a obter a melhor aproximação no sentido dos mínimos quadrados são:

(a) a = 8 ,   b = 3

(b) a = 4 ,   b = 7 3

(c) a = 1 , b = 10 3

(d) a = 2 , b = 7

Passo 1

Aparentemente essa é uma questão normal de funções, né??

Vamos substituir os dados da tabela na função:

f x = a x 3 + b  

E ver o que acontece.

Substituindo:

f - 1 = - 2 ∴ - a + b = - 2

f 0 = 3 ∴ b = 3

f 1 = 6 ∴ a + b = 6

Ou seja, ficamos com o sistema linear:

- a + b = - 2 b = 3 a + b = 6

Mas se a gente tenta resolver isso, não vamos achar solução!!

Por isso queremos uma solução aproximada e aí que entra o método dos mínimos quadrados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A matriz dos coeficientes desse sistema é:

O vetor do lado direito é:

Para resolver esse sistema pelo método dos mínimos quadrados, vamos precisar resolver a seguinte equação matricial:

A T A z = A T b

Onde z é vetor que tem como entradas os valores aproximados de a e b.

Vamos resolver isso:

Então:

2 a = 8 ⇒ a = 4

3 b = 7 ⇒ b = 7 3

Resposta

(b) a = 4 ,   b = 7 3

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