Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

Elaboração Própria

Determine a reta que melhor se ajusta aos seguintes pontos:

0 , 3 2

1 , 5 2

( 2 ,   3 )

Passo 1

Vamos montar o sistema com os valores dados.

Você já sabe que a equação de uma reta é y = a x + b .

Então vamos substituir os valores de x e y na equação:

3 2 = 0 a + b

5 2 = 1 a + b

3 = 2 a + b

Podemos escrever esse sistema na seguinte notação:

0 1 1 1 2 1 a b = 3 2 5 2 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora aplicamos o método dos mínimos quadrados.

A transposta da matriz A = 0 1 1 1 2 1 é a matriz A T = 0 1 2 1 1 1 .

Vai ficar assim:

0 1 2 1 1 1 0 1 1 1 2 1 a b = 0 1 2 1 1 1 3 2 5 2 3

5 3 3 3 a b = 17 2 7

Passo 3

Por fim, encontramos o valor pedido.

Para encontrar o valor de a e b ,temos que resolver aquele sistema.

A matriz aumentada é:

5 3 3 3 17 2 7

Escalonando:

5 3 3 3 17 2 7 → L 2 ← 1 3 L 2 5 3 1 1 17 2 7 3 → L 2 ← L 1 - 5 L 2 5 3 0 - 2 17 2 - 19 6

Da última equação, tiramos:

- 2 b = - 19 6

b = 19 12

Da primeira:

5 a + 3 × 19 12 = 17 2

5 a = 15 4

a = 3 4

Logo, y = a x + b fornece y = 3 4 x + 19 12 .

Resposta

y = 3 4 x + 19 12

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