Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

UFRJ, P4-2019.2

Calcule a equação da reta que melhor aproxima os pontos - 3 ,   - 13 ,   0 , 8 ,   3 ,   1 7 no sentido dos mínimos quadrados:

  1. y = 4 x + 2
  2. y = 3 x + 5
  3. y = 3 x + 3
  4. y = 5 x + 4

Passo 1

Belejóia galerinha bonita, a equação geral da reta que a gente é acostumado é dada por:

y = a x + b

E queremos aproximar os pontos do tipo x ,   y :

- 3 ,   - 13 ,     0 ,   8 ,     3 ,   1 7

Ou seja, podemos montar um sisteminha desse jeito:

- 13 = a - 3 + b 8 = a 0 + b 1 7 = a 3 + b

E se a gente pegar a segunda linha vamos ter que:

8 = 0 a + b

b = 8

E jogando esse resultado na primeira linha:

- 13 = a ( - 3 ) + 0

a = 13 3

MAAASSS, se a gente jogar na terceira linha, vamos ter:

1 7 = 3 a + 0

a = 17 3

Então isso quer dizer que nosso sistema NÃO TEM SOLUÇÃO!!! Maass para a Álgebra isso não é o suficiente, se o sistema não tem solução a gente vai lá e faz ele ter, e pra isso que temos o Método dos Mínimos Quadrados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se a gente montasse uma matriz com o sistema:

- 13 = a - 3 + b 8 = a 0 + b 17 = a 3 + b

Teríamos:

a - 3 b a 0 b a 3 b - 13 8 17 ⇒ - 3 1 0 1 3 1 - 13 8 17

- 3 1 0 1 3 1 - 13 8 17 ⇒ - 3 1 0 1 3 1 a b = - 13 8 17

Belezoca e agora que a mágica acontece, por que o método do mínimos quadrados diz que dado um sistema sem solução:

A x → = b →

Podemos aproximar uma solução z → = a b ' tal que:

A T A z → = A T b →

Então aplicando isso no nosso sistema - 3 1 0 1 3 1 a b = - 13 8 17 , temos que:

- 3 0 3 1 1 1 - 3 1 0 1 3 1 a b ' = - 3 0 3 1 1 1 - 13 8 17

Resolvendo essas multiplicações, temos:

18 0 0 3 a b ' = 90 12

Passo 3

E agora se gente fizer o contrário e transformar essa matriz em um sisteminha, vamos ter:

18 a ' + 0 b ' = 90 0 a ' + 3 b ' = 12

Logo, a primeira linha temos que:

18 a ' + 0 b ' = 90

18 a ' = 90

a ' = 90 18

a ' = 5

E para a segunda linha:

0 a ' + 3 b ' = 12

3 b ' = 12

b ' = 12 3

b ' = 4

Logo a equação da reta que melhor aproxima os pontos é dada por:

y = a ' x + b '

y = 5 x + 4

Reposta certa, letra (d)

Resposta

Letra (d).

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