Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

Considere o sistema linear A . x = b onde A = 1 2 0 3 5 1 2 3 1 e b = 1 - 1 3 (tal sistema não possui solução).

a) Encontre o vetor b 0 de I m ( A ) que está mais próximo de b .

b) Use (a) para encontrar todos os vetores x ∈ R 3 que minimizam o valor de A . x - b .

c) Entre os vetores encontrados em (b), seja x 0 o de menor norma. Determine x 0 .

Passo 1

a) Para encontrar esse vetor b 0 vamos calcular a projeção de b sobre cada coluna de A e depois somar essas projeções, assim:

b 0 = P r o j ( 1 ,   3 ,   2 ) b + P r o j ( 2 ,   5 ,   3 ) b + P r o j ( 0 ,   1 ,   1 ) b

b 0 = 1 ,   - 1 ,   3 ,   1 ,   3 ,   2 1 ,   3 ,   2 ,   1 ,   3 ,   2 1 ,   3 ,   2 + 1 ,   - 1 ,   3 ,   2 ,   5 ,   3 2 ,   5 ,   3 ,   2 ,   5 ,   3 2 ,   5 ,   3 + 1 ,   - 1 ,   3 ,   0 ,   1 ,   1 0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1 0 ,   1 ,   1

Fazendo os produtos internos:

b 0 = 4 14 1 ,   3 ,   2 + 6 38 2 ,   5 ,   3 + 2 2 0 ,   1 ,   1

b 0 = 80 133 , 352 133 , 272 133

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Como o sistema não tem solução, vamos utilizar o método dos mínimos quadrados, primeiro vamos escrever sua forma matricial, sendo x = x 1 y 1 z 1 :

1 2 0 3 5 1 2 3 1 x 1 y 1 z 1 = 1 - 1 3

Aplicando os mínimos quadrados:

1 3 2 2 5 3 0 1 1 . 1 2 0 3 5 1 2 3 1 . x 1 y 1 z 1 = 1 3 2 2 5 3 0 1 1 . 1 - 1 3

Multiplicando as matrizes, temos o sistema:

14 x + 23 y + 5 z = 4 23 x + 38 y + 8 z = 6 5 x + 8 y + 2 z = 2

Esse sistema é possível e indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções, dadas por:

x = 14 3 - 2 z 1 ,   - 8 3 + z 1 ,   z 1

Passo 3

c) A norma do vetor será dada por

x 0 = 14 3 - 2 z 1 2 + - 8 3 + z 1 2 + z 1 ²

Para sabermos quando essa norma vai ter o menor valor possível, vamos derivar e igualar a 0:

d x 0 d z 1 = 18 z 1 - 2 54 z 1 2 - 216 z 1 + 260

18 z 1 - 2 54 z 1 2 - 216 z 1 + 260 = 0 → z 1 = 2

Logo, o vetor x terá sua menor norma quando z 1 = 2 , então:

x 0 = 2 3 ,   - 2 3 ,   2

Resposta

a) b 0 = 80 133 , 352 133 , 272 133

b) x = 14 3 - 2 z 1 ,   - 8 3 + z 1 ,   z 1

c) x 0 = 2 3 ,   - 2 3 ,   2

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