Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

Encontre o modelo quadrático da forma y = a x 2 + b que melhor se ajusta (no sentido dos mínimos quadrados) aos dados experimentais da tabela abaixo. Assinale o valor do coeficiente b.

(a) 2

(b) 3

(c) 4

(d) 5

Passo 1

Vamos tentar montar um sistema linear para achar os valores de a e b.

Substituindo os dados da tabela na fórmula y = a x 2 + b :

9 = a - 1 2 + b 3 = a 0 2 + b 7 = a 1 2 + b

a + b = 9 b = 3 a + b = 7

Esse sistema claramente não tem solução (a primeira e a terceira equação não são compatíveis), então vamos achar a melhor solução no sentido de mínimos quadrados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para isso, vamos precisar resolver:

A T A z = A T b

Onde A é a matriz dos coeficientes do nosso sistema linear, b é o vetor do lado direito e z é a incógnita, ou seja, o vetor que possui como entradas os valores de a e b.

Escrevendo esses caras:

Substituindo na equação de mínimos quadrados e resolvendo:

Pra resolver esse sistema, vamos montar a matriz aumentada e escalonar:

L 2 ← L 2 - L 1

Da segunda equação, tiramos que:

b = 3

Resposta

(b) 3

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