Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

UFRJ-2013.2

A equação que modela um determinado fenômeno físico é dada por f x = a x 3 + b .

Alguns experimentos foram realizados com os seguintes resultados:

Os valores de a e b , de forma a obter a melhor aproximação no sentido dos mínimos quadrados são:

(a) a = 2 ,   b = 7

(b) a = 1 ,   b = 10 3

(c) a = 4 ,   b = 7 3

(d) a = 8 ,   b = 3

Passo 1

O primeiro passo é montar o sistema.

Substituindo os valores de y e x na equação:

- 4 = a - 1 3 + b - a + b = - 4

1 = 0 a + b 0 a + b = 1

12 = a 1 3 + b a + b = 12

Vai ficar assim:

- 1 a + 1 b = - 4 0 a + 1 b = 1 1 a + 1 b = 12

Agora temos que escrevê-lo em notação de produto matriz-vetor:

- 1 1 0 1 1 1 a b = - 4 1 12

Como o sistema não tem solução, vamos aproximá-lo usando o Método dos Mínimos Quadrados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A matriz transposta de A é dada por:

A T = - 1 0 1 1 1 1

Multiplicando A T dos dois lados:

- 1 0 1 1 1 1 - 1 1 0 1 1 1 a b = - 1 0 1 1 1 1 - 4 1 12

2 0 0 3 a b = 16 9

Passo 3

Agora é só resolver o sistema (que já está escalonado)! Temos:

2 a = 16 a = 8

3 b = 9 b = 3

Resposta

Letra ( d )

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