Exercícios Resolvidos de Operações com Vetores

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Enunciado

Calcular a e b de modo que os pontos A 3 ,   1 , - 2 ,   B ( 1 ,   5 ,   1 ) e C ( a ,   b ,   7 ) sejam colineares.

Passo 1

Temos como dados 3 pontos: A ,   B   e   C . Sendo que o ponto C possui incógnitas nas suas coordenas e devemos determina-las. Para determinar a   e   b devemos forçar os pontos a serem colineares.

Passo 2

Bom, pela teoria, sabemos que dois vetores são colineares quando estão na mesma direção, estando sobre a mesma reta ou paralelos. Vamos representar na mesma reta:

Então, como pela teoria temos que dois vetores são colineares ou paralelos se são múltiplos entre si, então temos que:

A B   → =   k A C →

Poderíamos, ter escolhido outros vetores que o resultado não se alteraria.

Só precisamos então determinar os vetores e igualar as coordenadas.

A B   → =   B - A = 1 ,   5 ,   1 - 3 ,   1 ,   - 2 = ( - 2 ,   4 ,   3 )

A C → = C - A = a ,   b ,   7 - 3 ,   1 ,   - 2 = ( a - 3 ,   b - 1 ,   9 )

Passo 3

Agora, só igualar:

A B   → =   A C → → - 2 ,   4 ,   3 = k ( a - 3 ,   b - 1 ,   9 )

- 2 = k ( a - 3 )

4 = k ( b - 1 )

3 = 9 k → k = 1 3

Determinado k , conseguimos descobrir a   e   b .

4 = 1 3 b - 1 → b = 13

- 2 = 1 3 a - 3 → a = - 3

Resposta

a = - 3   e   b = 13

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