Exercícios Resolvidos de Operações com Vetores

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Enunciado

Considere a base B = { ( 1,0 , - 1 ) , ( 0 , - 1,0 ) , ( 0,2 , 1 ) } sabendo que [ v ] B = ( - 3,3 , 2 ) (coordenadas de v na base B ), a segunda entrada de v é:

  1. 3
  2. 1
  3. 4
  4. 2

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nessa questão vamos melhorar o nosso entendimento de representação de um vetor em uma base.

Bem, nosso objetivo é descobrir qual é a segunda entrada do vetor v (como não explicita a base, então é a canônica). Mas o que sabemos sobre v ? Bem, o enunciado diz que

[ v ] B = ( - 3,3 , 2 )

onde a base B é:

B = { ( 1,0 , - 1 ) , ( 0 , - 1,0 ) , ( 0,2 , 1 ) }

Agora, qual é a interpretação das coordenadas de um vetor em alguma base? Já pensaram nisso?

Bem, vamos supor que estamos na base canônica do R 2 , o que que significa o vetor ( a , b ) ?

Bem, como estamos na base canônica, então.

( a , b ) = a ( 1,0 ) + b ( 0,1 )

Ou seja, as entradas do vetor representam quais são os coeficientes usados na combinação linear dos vetores da base. Tome, por exemplo, o vetor ( 1,1 ) , como ele seria representado na base { ( 1,1 ) , ( 0,1 ) } ?

Ora temos que

( 1,1 ) = 1 ( 1,1 ) + 0 ( 0,1 )

então nessa nova base o vetor será representado como ( 1,0 ) . Deu pra sacar?

Passo 2

Vamos usar o fato que trabalhamos no passo 1. Como a nossa base é

B = { ( 1,0 , - 1 ) , ( 0 , - 1,0 ) , ( 0,2 , 1 ) }

e

[ v ] B = ( - 3,3 , 2 )

Então então temos:

[ v ] B = - 3 ( 1,0 , - 1 ) + 3 ( 0 , - 1,0 ) + 2 ( 0,2 , 1 )

⇒ v = ( - 3,0 , 3 ) + ( 0 , - 3,0 ) + ( 0,4 , 2 )

= ( - 3,1 , 5 )

Então chegamos a conclusão que nosso v na base canônica é

v = ( - 3,1 , 5 )

E sua segunda entrada é 1

Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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