Exercícios Resolvidos de Operações com Vetores

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Enunciado

Seja A B C um triângulo no espaço E 3 e sejam P um ponto do segmento A C e Q um ponto do segmento B C tais que:

A P → = 3 P C →           e       Q C → = 2 B Q → .

Se H é o ponto na interseção dos segmentos A Q e B P , então o quociente

A H → A Q →

é igual a:

  1. 3 4 ;
  2. 9 10 ;
  3. 9 13 ;
  4. 10 13 ;
  5. 10 11 .

Passo 1

E aí, minha gente! Tudo bem? Antes de começarmos a resolver a questão propriamente dita, vamos esboçar as informações que o enunciado nos deu para ficar mais claro:

Agora que desenhamos o triângulo A B C e os segmentos A Q e B P , vamos tentar escrever expressões vetoriais para fazer uso da praticidade em se expressar a soma de vetores e também para que possamos utilizar as informações fornecidas no enunciado de que:

A P → = 3 P C →           e       Q C → = 2 B Q → .

Primeiramente, vamos começar escrevendo as duas seguintes equações vetoriais:

C B → = A B → - A C → A Q → = A C → + C Q →

Para entendermos de onde vêm as relações acima, é sempre bastante conveniente fazermos desenhos:

Beleza! Mas agora, do enunciado, sabemos que Q C → = 2 B Q → , certo? Mas como os pontos B ,   Q   e   C são colineares:

C B → = C Q → + Q B → = C Q → + 1 2 C Q → = 3 2 C Q →

Então, no nosso sistema de duas equações, podemos substituir a relação acima na segunda equação:

A Q → = A C → + C Q → = A C → + 2 3 C B →

Show! Finalmente, vamos substituir a primeira equação do nosso sistema na equação acima:

A Q → = A C → + 2 3 C B → = A C → + 2 3 A B → - A C → = 2 3 A B → + 1 3 A C →

Vamos deixar essa nossa equaçãozinha guardada por ora, mas já já vamos utilizá-la. O que vamos fazer agora é encontrar outra relação desse tipo, de forma bastante análoga ao que acabamos de fazer. Se liga, vamos escrever um nova equação vetorial:

B P → = B A → + A P →

De novo, para gente se convencer dessas relações entre vetores, nada melhor do que um desenho haha:

Show! Assim como fizemos antes, vamos usar a informação remanescente do enunciado: A P → = 3 P C → . Como os pontos A ,   P e C são colineares, temos:

A C → = A P → + P C → = A P → + 1 3 A P → = 4 3 A P →

Então, utilizando da equação acima na nossa nova relação entre vetores, obtemos:

B P → = B A → + A P → = - A B → + 3 4 A C →

Passo 2

Para resumir até onde chegamos por enquanto, obtivemos as duas seguintes equações vetoriais:

A Q → = 2 3 A B → + 1 3 A C → B P → = - A B → + 3 4 A C →

Agora, como os pontos A , H , Q são colineares e os pontos B , H , P também, então

A H → = λ A Q →    e    B H → = α B P →

para algum λ , α ∈ R , assim como tínhamos nas equações que relacionavam C B → , C Q → e A P → , A C → . Dessa forma, podemos reescrever as duas equações vetoriais em função de A H → e B H → :

A H → = λ 2 3 A B → + 1 3 A C → B H → = α - A B → + 3 4 A C →

Antes de prosseguirmos ao próximo passo, é importante notarmos que como A H → = λ A Q → , o número λ é precisamente aquilo que estamos buscando como resposta da nossa questão, já que:

A H → = λ A Q → → A H → = λ A Q → → λ = A H → A Q → .

Passo 3

Beleza, temos duas equações que relacionam A H → e B H → com A B → e B C → , certo? Para finalizar precisamos de alguma última equação que nos permita juntar essas duas informações, ou seja, alguma equação que relacione A H → com B H → e com A B → ou B C → (ou ambos). Para esse propósito, vamos utilizar a seguinte equação:

B H → = B A → + A H →

Novamente, como uma imagem vale mais do que mil palavras, a relação acima está ilustrada na figura abaixo:

Substituindo então as equações que já temos para A H → e B H → , temos:

B H → = B A → + A H →

α - A B → + 3 4 A C → = - A B → + λ 2 3 A B → + 1 3 A C →

Rearranjando:

A B → - α + 1 - 2 3 λ + A C → 3 4 α - λ 3 = 0 →

Agora, vamos pensar o seguinte: como os vetores A B → , A C → são LI, uma combinação linear deles só teria como dar o vetor nulo se os coeficientes fossem zero, certo? Então podemos usar isso para montar um sisteminha de equações:

- α + 1 - 2 3 λ = 0 3 4 α - λ 3 = 0

Da primeira equação, tiramos:

α = 1 - 2 3 λ

E então, substituindo na segunda equação:

3 4 1 - 2 3 λ - λ 3 = 0

Resolvendo para λ , obtemos:

λ = 9 10

Como o valor de λ era exatamente o que procurávamos, então tá ai a resposta!

Gostou? Então vamos para próxima questão 😉

Resposta

(b) 9 10

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