Exercícios Resolvidos de Operações com Vetores

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Enunciado

Considere o tetraedro de vértices A , B , C , D . Seja M o ponto sobre a aresta B D tal que B M → = 1 2 B D → e seja N o ponto sobre a aresta B C tal que B N → = 3 5 B C → . Se α , β , γ ∈ R são tais que N M → = α A B → + β A C → + γ A D → , então α , β , γ são iguais, respectivamente, a

Passo 1

OIEE! Vamos lá matar mais um?

Temos esse tetraedro:

Onde B M → = 1 2 B D → e B N → = 3 5 B C →

E aí queremos encontrar uma relação de N M → com A B → , A C → e A D → , tipo assim:

N M → = α A B → + β A C → + γ A D →

E então encontrarmos os valores de α , β , γ

O nosso ponto de partida para chegarmos nessa relação é que

N M → = N B → + B M →

Pode ser? Então vamos desenvolver isso aí!

Passo 2

Então temos

N M → = N B → + B M →

Mas N B → = - B N → = - 3 5 B C →

Também sabemos que B M → = 1 2 B D → , então

N M → = - 3 5 B C → + 1 2 B D →

Decompondo os vetores na soma de 2 vetores envolvendo o ponto A :

N M → = - 3 5 B A → + A C → + 1 2 B A → + A D →

Como queremos uma relação que envolva A B → , A C → e A D → , vamos manipulando isso

Passo 3

Temos que

N M → = - 3 5 B A → + A C → + 1 2 B A → + A D →

Mas B A → = - A B → , então

N M → = - 3 5 - A B → + A C → + 1 2 - A B → + A D →

N M → = 3 5 A B → - 3 5 A C → - 1 2 A B → + 1 2 A D →

N M → = 6 10 A B → - 3 5 A C → - 5 10 A B → + 1 2 A D →

N M → = 1 10 A B → - 3 5 A C → + 1 2 A D →

Aeeee, então chegamos em algo do tipo N M → = α A B → + β A C → + γ A D →

E aí, comparando, temos que

α = 1 10

β = - 3 5

γ = 1 2

Sucesso!

Resposta

α = 1 10

β = - 3 5

γ = 1 2

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