Exercícios Resolvidos de Operações com Vetores

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Enunciado

Considere v → = ( 2 ,   0 ,   1 ) , A = ( 2 ,   2 ,   - 1 ) e B = ( 0 ,   0 ,   1 ) .

c) O conjunto { A B → ,   v → } é L I ou L D ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um vetor v → = ( 2 ,   0 ,   1 ) , dois pontos A = ( 2 ,   2 ,   - 1 ) e B = ( 0 ,   0 ,   1 ) e pediu pra gente determinar se o conjunto { A B → ,   v → } é L I ou L D . Bom, pra gente saber se um conjunto de vetores é linearmente dependente ( L D ) ou linearmente independente ( L I ), é só ver se um desses vetores é combinação linear do outro, lembra?

Pra gente escrever os vetores como combinação linear, precisamos fazer:

a v → + b A B → = 0

Mas antes precisamos encontrar o vetor A B → . Em seguida, verificamos o valor dos coeficientes a e b , se todos os coeficientes forem iguais a zero, o conjunto é L I . Caso contrário, conseguimos escrever um vetor como combinação linear do outro e o conjunto é L D .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando o vetor A B → :

A B → = B - A

Substituindo os pontos A = ( 2 ,   2 ,   - 1 ) e B = ( 0 ,   0 ,   1 ) , temos:

A B → = 0 ,   0 ,   1 - ( 2 ,   2 ,   - 1 )

A B → = ( - 2 ,   - 2 ,   2 )

Agora vamos tentar escrever o conjunto como combinação linear:

a v → + b A B → = 0

a 2 ,   0 ,   1 + b - 2 ,   - 2 ,   2 = 0

A partir daí, temos o sistema:

2 a - 2 b = 0 0 a - 2 b = 0 1 a + 2 b = 0

Da segunda equação, temos:

- 2 b = 0 → b = 0

Substituindo na terceira equação:

a + 2 b = 0

a = 0

Logo, só existe um único jeito de gerar o vetor nulo, que é com a = 0 e b = 0 e essa é a solução. Dessa forma, podemos dizer que o conjunto { A B → ,   v → } é L I .

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

O   c o n j u n t o   é   L I

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