Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,

60. Como fica a relação abaixo para n eventos quaisquer A 1 , A 2 , A 3 … A n ?

P A ∩ B ∩ C = P A . P B | A P ( C | A ∩ B )

Passo 1

Primeira coisa: Não pira!

O enunciado pede a relação para n eventos quaisquer, mas vamos olhar primeiro essa relação? Tá, vamos lá...

Essa relação é verdadeira? Bom, pelo enunciado parece que sim, mas vamos entender ela.

P A ∩ B ∩ C = P A . P B | A P ( C | A ∩ B )

Vamos olhar para o lado direito primeiro e ver como podemos “abrir” essa equação. Podemos começar aplicando a fórmula de probabilidade condicional com P B / A :

P B | A = P A ∩ B P A

Também podemos abrir o P ( C | A ∩ B ) , com a mesma fórmula de probabilidade condicional:

P C | A ∩ B = P A ∩ B ∩ C P A ∩ B

Então, vamos substituir esses valores na equação que temos e ver o que encontramos:

P A ∩ B ∩ C = P A . P B | A P ( C | A ∩ B )

P A ∩ B ∩ C = P A . P A ∩ B P A       P A ∩ B ∩ C P A ∩ B

Corta bastante coisa né?

Cancelando cada lado teremos que:

P A ∩ B ∩ C = P A ∩ B ∩ C

Ok, sabemos que essa relação é coerente!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que entendemos melhor o mecanismo, vamos olhar para o caso com quatro eventos... A ideia de olhar para quatro é ver o que muda e como muda para conseguir fazer uma analogia com o caso com n eventos ok? Vamos fazer o caminho inverso agora:

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P A ∩ B ∩ C ∩ D

Bom, podemos isolar o lado esquerdo:

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P ( A ∩ B ∩ C ∩ D )

Agora vamos aplicar a fórmula da probabilidade condicional:

P X | Y = P X ∩ Y P Y → P X ∩ Y = P X | Y . P Y

Então

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P D | A ∩ B ∩ C . P ( A ∩ B ∩ C )

Substituindo P ( A ∩ B ∩ C ) :

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P D | A ∩ B ∩ C P B | A . P A P ( C | A ∩ B )

Reorganizando

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P A . P B | A P C | A ∩ B . P D | A ∩ B ∩ C

Notamos então que ao fazermos para quatro eventos, acrescentamos uma parcela. E essa parcela é algo do tipo:

P ( A n | A 1 ∩ A 2 … A n - 1 )

Percebe-se que se fizermos para cinco eventos iremos acrescentar um termo análogo a esse na expressão e assim por diante. Veja só o esquema abaixo:

Notamos que esse é o termo que é acrescentado a nossa expressão. Assim podemos pensar no caso geral né?

Passo 3

Pro caso geral então teremos:

P A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 … ∩ A n - 2 ∩ A n - 1 ∩ A n

= P A 1 . P A 1 . P A 1 ∩ A 2 … P A 1 ∩ A 2 … ∩ A n - 2 . P ( A n | A 1 ∩ A 2 … ∩ A n - 1  

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