Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

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Enunciado

01) Um sistema possui 3   componentes independentes que possuem tempo de vida distribuído exponencialmente com parâmetro λ . Para o sistema falhar, os dois primeiros devem falhar ou o terceiro deve falhar, já que os dois primeiros estão associados em paralelo e este conjunto está em série com o terceiro. A probabilidade do sistema durar mais do que T é dada por:

A) 1 - 1 - e - λ T 2 e - λ T

B) 1 - e - 2 λ T 2 e - λ T

C) 1 - 1 - e - 2 λ T 2 ( 1 - e - λ T )

D) e - 3 λ T

E) 1 - e - 3 λ T

Passo 1

Fala Aí gente!

Aqui temos uma questão top de distribuição exponencial que acho que vai ajudar bastante no entendimento melhor desse assunto.

Basicamente, temos três componentes elétricos que possuem o tempo de vida regido por uma distribuição exponencial com parâmetro λ . Daí, a gente quer saber a probabilidade do sistema inteiro durar mais do que um tempo T , sabendo que esse sistema só falha devido a ocorrência de dois casos:

1) Os dois primeiros componentes falharem juntos

2) O terceiro componente falhar

Então beleza, mas vocês lembram como é a distribuição exponencial?

A distribuição exponencial modela probabilidades que vão decaindo com o decorrer de alguma grandeza (geralmente é o tempo mesmo). A função de densidade de probabilidade vale:

f x =   0 ,                                     s e   x < 0 λ e - λ x ,     s e   x ≥ 0

Além disso, possui:

E X = 1 λ

V a r X = 1 λ 2

Ainda tem mais uma coisinha que é bom a gente saber, mas que também dá pra desenvolver a partir da função de densidade. É a função de distribuição acumulada (FDA), F ( x ) . Em V.A contínuas são as FDA’s que nos dão as probabilidades, e elas podem ser obtidas por integração de f ( x ) . Daí:

F x =   0 ,                                                 s e   x < 0 1 - e - λ x ,     s e   x ≥ 0  

Excelente! Agora já sabemos tudo o que é necessário (e um pouquinho mais haha) pra fazer essa questão.

Passo 2

Então gente, nós falamos antes sobre as duas situações que podem fazer o sistema falhar. Basta que uma delas ocorra para que venha a falha.

Daí, pensa comigo, se eu não quero que o sistema falhe em um tempo t ≤ T , eu preciso garantir que nenhuma das duas condições irá ocorrer para t ≤ T . Concorda?

Certo. Isso quer dizer que precisam ocorrer dois eventos:

1) Pelo menos um dos componentes em paralelo permanecer funcionando;

2) O componente em série permanecer funcionando.

Massa! Bora então calcular a probabilidade de cada um desses eventos acontecerem, mas para fazer isso é bem útil a gente já conhecer a probabilidade de um componente falhar em t ≤ T .

Como cada componente obedece à distribuição exponencial, a probabilidade de que ele pare de funcionar em t ≤ T é de:

P X = T = F T

Logo, pelo que vimos lá no início da Função de distribuição acumulada, vale que:

F T = 1 - e - λ T

Prontinho!

Passo 3

Beleza, vamos agora calcular a probabilidade dos eventos 1 e 2 acontecerem. Começando pelo evento 1 .

Se queremos que pelo menos um dos componentes esteja funcionando, podemos calcular a probabilidade usando aquela ideia de complementaridade, lembra?

A probabilidade P 1 de pelo menos um dos componentes em paralelo permanecer funcionando vale:

P 1 =   1 - P 1 C

Onde P 1 C é a probabilidade dos dois componentes em paralelo falharem. Só que calcular P 1 C é bem mais tranquilo, pois basta multiplicarmos as probabilidades de cada um dos componentes falharem (viu como foi bom ter calculado isso antes?). Assim:

P 1 C = 1 - e - λ T 2

Daí:

P 1 = 1 - 1 - e - λ T 2

Excelente! O primeiro evento já foi. Agora bora pro segundo!

Queremos calcular a probabilidade P 2 do terceiro componente não falhar em t ≤ T .

Novamente, podemos usar a nossa ideia da complementaridade. Daí, a probabilidade do componente não falhar é justamente:

P 2 = 1 - P X = T

∴ P 2 = 1 - 1 - e - λ T = e - λ T

Já tá acabandooo! Segura mais um pouco hahaha.

Agora que já temos P 1 e P 2 , a probabilidade dos dois eventos ocorrerem simultaneamente é justamente o produto dessas probabilidades. Assim:

P = P 1 ⋅ P 2

P = 1 - 1 - e - λ T 2 ⋅ e - λ T

E fimmm!! Essa é a resposta. Mesmo que pareça difícil, o mais importante é pensar com calma o que está acontecendo e estabelecer a estratégia da questão.

Espero que vocês tenham entendido. Até a próxima galera 😉

Resposta

Letra A: 1 - 1 - e - λ T 2 ⋅ e - λ T

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