Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

f x , y = 1 k 1 3 x 2 3 y > 0   ,       q u a l q u e r   q u e   s e j a   x = 2 , 3 , 4 ,   … ,   s e ,   s o m e n t e   s e   k > 0

                                                                                                              q u a l q u e r   q u e   s e j a   y = 2,3 , 4 , … ,   s e ,   s o m e n t e   s e   k > 0

  1. Determine a constante " k " para que f x , y seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y .
  2. Encontre a densidade marginal de X e de Y .
  3. X e Y são independentes? Por quê? Justifique.

Passo 1

(a)

Pra calcular a constante é só integrar e igualar a 1 que é a condição para ser uma função de probabilidade.

∫ 2 + ∞ ∫ 2 + ∞ 1 k 1 4 x 2 3 y   d y d x

Mas integrar isso não faz sentido (já que x e y são variáveis discretas, não assumem todos os valores e sim só inteiros), então vamos usar somatórios no lugar das integrais e usar aquela ideia da série geométrica.

1 k ∑ i = 2 ∞ 1 4 x ∑ i = 2 ∞ 2 3 y

A gente sabe que:

∑ i = 0 ∞ a k = 1 + a + a ² + … = 1 1 - a

∑ i = 1 ∞ a k = a + a 2 + a 3 + … = a 1 + a + a 2 + … = a 1 - a

∑ i = 2 ∞ a k = a ² + a ³ + a 4 + … = a 2 1 + a + a 2 + … = a 2 1 - a

Passo 2

Aplicando isso que a gente viu no caso:

∑ i = 3 ∞ 1 3 x = 1 3 2 1 - 1 3 = 1 3 2 2 3 = 1 9 × 3 2 = 1 6

∑ i = 2 ∞ 2 3 y = 2 3 2 1 - 2 3 = 4 9 × 3 = 4 3

Juntando tudo teremos:

1 k × 1 6 × 4 3 = 1 k × 2 9 = 2 9 k

E isso tem que ser igual a 1 :

k = 2 9

Passo 3

(b)

Para a densidade marginal de Y :

f y = 9 2 . 2 3 y ∑ i = 2 ∞ 1 3 x

Substituindo o valor do somatório que nós já calculamos antes.

f y = 9 2 . 2 3 y . 1 6

f y = 3 4 . 2 3 y

Passo 4

Já para a densidade de X :

f x = 9 2 . 1 3 x ∑ i = 3 ∞ 2 3 y

= 9 2 . 1 3 x . 4 3

f x = 6 . 1 3 x

Passo 5

(c)

Pras variáveis serem independentes elas tem que verificar a seguinte condição:

f x , y = f x . f y

f x . f y = 6 . 1 3 x × 3 4 . 2 3 y

= 9 2 . 1 3 x . 2 3 y

Que é igual a função f ( x , y ) . Isso significa que as variáveis são independentes.

Resposta

a   k = 2 9

b   f x = 6 . 1 3 x     e     f y = 3 4 . 2 3 y

c   s ã o   i n d e p e n d e n t e s

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