10) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 0 ⁡ x - s e n a x x + t g b x 1 - cos ⁡ c x  

Onde a , b ,   c ≠ 0 .

Passo 1

Fala pessoal do Responde Aí!

Vamos começar substituindo x = 0 no nosso limite para ver se vai dar tudo certo ou se cai em uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ x - s e n a x x + t g b x 1 - cos ⁡ c x   = 0 - 0 0 - 0 1 - 1 = 0 0

Deu uma indeterminação matemática!

Passo 2

Aqui também precisaríamos efetuar um grande trabalho algébrico para tirar essa indeterminação. Nesse caso é uma ótima opção usarmos o teorema de L’hospital, que diz o seguinte:

Se a gente tiver um limite que quando substituímos o valor que x está tendendo caímos em uma indeterminação (algo como 0 / 0 ou ∞ / ∞ ), podemos afirmar que:

lim x → p ⁡ f x g x = lim x → p ⁡ f ' x g ' x

Onde f ' e g ' são as derivadas de f e g , respectivamente.

Então, para esse problema temos:

f x = x - s e n a x x + t g b x

g x = 1 - cos ⁡ c x

Daí, derivando f e g temos:

f ' x = 1 - a ⋅ cos ⁡ a x x + t g b x + ( x - s e n a x ) ( 1 + b ⋅ s e c 2 b x )

g ' x = c ⋅ s e n ( c x )

Daí pelo teorema de L’hospital, vamos ter que:

lim x → 0 ⁡ x - s e n a x x + t g b x 1 - cos ⁡ c x   =

= lim x → 0 ⁡ 1 - a ⋅ cos ⁡ a x x + t g b x + x - s e n a x 1 + b ⋅ s e c 2 b x c ⋅ s e n c x

Passo 3

O problema é que esse limite continua sendo indeterminado, pois se substituirmos x = 0 , teremos novamente um frustrante 0 / 0 . Isso significa que precisamos aplicar o teorema de L’hospital mais uma vez rs...

Então:

f ' ' x = ( a ⋅ s e n a x x + t g b x + 1 - a ⋅ cos ⁡ a x 1 + b ⋅ sec 2 ⁡ b x + 1 - a ⋅ cos ⁡ a x ⋅ 1 + b ⋅ sec 2 ⁡ b x + ( x - s e n a x ) ( 2 b 2 sec 2 ⁡ ( b x ) t g ( b x )

Mas, quando x → 0 , f ' ' ( x ) vale apenas: 2 ( 1 - a ) ( 1 + b )

Excelente, não continuou dando zero no numerador. Já é um bom sinal. Vamos agora ver a função g ' ' ( x ) .

g ' ' x = c 2 ⋅ c o s ⁡ ( c x )

Também muito bom, pois quando x → 0 , g ' ' ( x ) não tende a zero.

Então vamos finalizar, finalmente, essa questão. Pelo teorema de L’hospital, é verdade que:

lim x → 0 ⁡ x - s e n a x x + t g b x 1 - cos ⁡ c x   = lim x → 0 ⁡ f ' ' x g ' ' x = 2 1 - a 1 + b c 2

Ufaa, essa tava bem complicada, mas conseguimos. Fica como dica esse teorema poderosíssimo!

Resposta

lim x → 0 ⁡ x - s e n a x x + t g b x 1 - cos ⁡ c x =   2 1 - a 1 + b c 2  

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)