Calcule os limites abaixo:

c ) lim x → 0 ⁡ x 2 ⋅ e 1 x

Passo 1

Oii gente bonita do Responde Aí, como vocês estão?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 ⁡ x 2 ⋅ e 1 x

Como sempre, vamos começar substituindo o valor que x está tendendo no nosso limite:

lim x → 0 ⁡ x 2 ⋅ e 1 x = 0 ⋅ e 1 0

Isso é indeterminado, pois e 1 / 0 → ∞ . Ou seja, na prática temos algo do tipo:

0 ⋅ ∞

Mas, se olharmos direitinho para esse nosso limite, podemos trocar:

t = 1 x

Daí, o limite se transforma em:

lim x → 0 ⁡ x 2 ⋅ e 1 x = lim t → ∞ ⁡ e t t 2

Daí, o resultado desse limite é algo do tipo:

∞ ∞

E, isso é perfeito! Porque assim ele se encaixa no Teorema de L’Hopital!

Basicamente, ele diz que se:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = ∞ ∞ o u 0 0

Então vale que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

Massa! Vamo nessa!

Passo 2

Queremos calcular o limite:

lim t → ∞ ⁡ e t t 2

Usando L’hopital:

f t = e t

g t = t 2

Derivando, temos:

f ' t = e t

g ' t = 2 t

Assim:

lim t → ∞ ⁡ e t t 2 = lim t → ∞ ⁡ e t 2 t

Esse limite ainda é indeterminado do tipo:

∞ ∞

Daí, podemos aplicar L’hopital mais uma vez:

f ' t = e t

g ' t = 2 t

Derivando novamente:

f ' ' t = e t

g ' ' t = 2

Logo:

lim t → ∞ ⁡ e t 2 t = lim t → ∞ ⁡ e t 2

Opaa, removemos a indeterminação.

Daí, finalmente temos:

lim t → ∞ ⁡ e t 2 = ∞

Sacaram a ideia, pessoal? Podemos aplicar L’Hopital sucessivas vezes até o nosso limite ficar bonitinho 😊

Até a próxima!!

Resposta

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)