Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

d ) lim x → 1 ⁡ x - 1 x n - 1

Passo 1

Oi galerinha, tudo beleza?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 ⁡ x - 1 x n - 1

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

E aí, pegaram a ideia?

Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, no nosso caso, temos o limite:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x n - 1

Substituindo x = 1 no limite, temos:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x n - 1 = 1 - 1 1 n - 1 = 0 0

Puts, caímos numa indeterminação. Então, vamos usar a regra de L’Hospital...

Calculando a derivada do numerador, temos:

x - 1 ' = 1

Calculando a derivada do denominador, temos:

x n - 1 ' = n ⋅ x n - 1

Daí, voltando para o limite, vem que:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x n - 1 = lim x → 1 ⁡ 1 n ⋅ x n - 1

Substituindo o valor que x está tendendo, temos:

lim x → 1 ⁡ 1 n ⋅ x n - 1 = 1 n

Perfeito pessoal!

Tchauzinho e até a próxima 😉

Resposta

1 n

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)