Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

a ) lim x → 0 ⁡ s e n   x tan ⁡ x

Passo 1

Fala aí galera, tudo bom?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 ⁡ s e n   x tan ⁡ x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

Tranquilo?

Mas, para podermos verificar se o problema está dentro das regras de L’Hospital, precisaremos antes transformá-lo em uma fração. Pra fazer isso, a ideia é usarmos a propriedade das exponenciais que:

a = e ln ⁡ a

Show de bola! Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos usar a propriedade que comentamos no passo anterior para escrever:

L = lim x → 0 ⁡ s e n   x tan ⁡ x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ s e n   x tan ⁡ x

Pela propriedade do limite e continuidade, podemos jogar o limite para cima do expoente. Daí:

L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ s e n   x tan ⁡ x

Pela propriedade do logaritmo, podemos passar o expoente tan ⁡ x multiplicando o l n . Daí:

L = e lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x ⋅ ln ⁡ s e n   x

∴ L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ s e n   x c o t g   x

Muito bom! Conseguimos colocar o limite de uma fração.

Temos que calcular:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ s e n   x c o t g   x

Vamos então substituir o valor que x assume dentro do nosso limite:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ s e n   x c o t g   x = ln ⁡ 0 c o t g   0

→   - ∞ ∞

Opaaa! Caímos na regra de L’Hospital.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador para aplicar o limite novamente.

Começando pelo numerador:

ln ⁡ s e n   x ' = 1 s e n   x ⋅ cos ⁡ x

Já no numerador, temos:

c o t g   x ' = c o s s e c 2 x

= 1 s e n 2 x

Substituindo esses resultados em nosso limite, temos:

lim x → 0 ⁡ ln �� s e n   x c o t g   x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x s e n   x 1 s e n 2 x

= lim x → 0 ⁡ s e n   x ⋅ cos ⁡ x

Quando x → 0 , teremos:

lim x → 0 ⁡ s e n   x ⋅ cos ⁡ x = s e n   0 ⋅ cos ⁡ 0

= 0

Daí, voltando para a nossa expressão do cálculo de L , temos:

L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ s e n   x c o t g   x

Substituindo o resultado que achamos:

L = e 0

Logo:

L = lim x → 0 ⁡ s e n   x tan ⁡ x = 1

Prontinho pessoal!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

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Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)