Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

f ) lim x → + ∞ ⁡ 1 + a x x

Passo 1

E aí gente bonita, como vocês estão?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + a x x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

Tranquilo?

Mas, para podermos verificar se o problema está dentro das regras de L’Hospital, precisaremos antes transformá-lo em uma fração. Pra fazer isso, a ideia é usarmos a propriedade das exponenciais que:

a = e ln ⁡ a

Show de bola! Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos usar a propriedade que comentamos no passo anterior para escrever:

L = lim x → + ∞ ⁡ 1 + a x x = lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + a x x

Pela propriedade do limite e continuidade, podemos jogar o limite para cima do expoente. Daí:

L = e lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + a x x

Pela propriedade do logaritmo, podemos passar o expoente x multiplicando o l n . Daí:

L = e lim x → + ∞ ⁡ x ⋅ ⋅ ln ⁡ 1 + a x

∴ L = e lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + a x 1 x

Muito bom! Conseguimos colocar o limite de uma fração.

Temos que calcular:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + a x 1 x

Vamos substituir o valor que x está tendendo dentro do limite para verificar se cairemos em um dos casos da regra de L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + a x 1 x → ln ⁡ 1 0

= 0 0

Opaaa, temos um caso para aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador para aplicar o limite novamente.

Começando pelo numerador:

1 + a x ' = - a x 2

Indo agora para o denominador, temos:

1 x ' =   - 1 x 2

Voltando para o limite, vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + a x 1 x = lim x →   + ∞ ⁡ - a x 2 1 x 2

= lim x → ∞ ⁡ - a

Como a é uma constante, concluímos que:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + a x 1 x = - a

Daí, podemos voltar para L :

L = e lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + a x 1 x

Substituindo os resultados que encontramos:

L = e - a

Perfeito! Com isso finalizamos mais uma questãozita...

Obrigado pela atenção e até a próxima 😊

Resposta

e - a

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)