Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

b ) lim x → π 2 ⁡ x ⋅ tan ⁡ x - π 2 cos ⁡ x  

Passo 1

Olá olá olá pessoaaaaal, tudo bem?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → π 2 ⁡ x ⋅ tan ⁡ x - π 2 cos ⁡ x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

E aí, pegaram a ideia?

Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.

Vamo nessa!

Passo 2

Para começar, vamos escrever a expressão dentro do limite em uma única fração.

Daí, temos:

x ⋅ tan ⁡ x - π 2 cos ⁡ x = x ⋅ s e n   x cos ⁡ x ⋅ 2 cos ⁡ x - π 2 cos ⁡ x

= 2 x ⋅ s e n   x - π 2 cos ⁡ x

Voltando para o limite, vamos ter:

lim x → π 2 ⁡ x ⋅ tan ⁡ x - π 2 cos ⁡ x = lim π 2 ⁡ 2 x ⋅ s e n   x - π 2 cos ⁡ x

Para verificar se ele atende a alguma das condições da regra de L’Hospital, vamos substituir o valor que x está tendendo dentro do limite:

lim π 2 ⁡ 2 x ⋅ s e n   x - π 2 cos ⁡ x = 2 ⋅ π 2 ⋅ s e n π 2 - π 2 cos ⁡ π 2

= 0 0

Opaaa...temos um 0 / 0 , logo podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Para aplicar L’Hospital, vamos começar calculando a derivada do numerador e do denominador.

Começando pelo numerador, temos:

( 2 x ⋅ s e n   x - π ) ' = 2 ⋅ s e n   x + 2 x ⋅ cos ⁡ x

Já derivando o denominador, temos:

2 cos ⁡ x ' =   - 2 ⋅ s e n   x

Daí, voltando para o limite, temos:

lim x →   π 2 ⁡ 2 x ⋅ s e n   x - π 2 cos ⁡ x = lim x →   π 2 ⁡ 2 ⋅ s e n   x + 2 x ⋅ cos ⁡ x - 2 s e n   x

Agora sim, substituindo o valor que x está tendendo, temos:

lim x →   π 2 ⁡ 2 ⋅ s e n   x + 2 x ⋅ cos ⁡ x - 2 s e n   x = 2 ⋅ s e n π 2 + 2 ⋅ π 2 ⋅ cos ⁡ π 2 - 2 s e n π 2

= 2 - 2

Portanto:

lim x → π 2 ⁡ x ⋅ tan ⁡ x - π 2 cos ⁡ x = - 1

E aí, conseguiram entender a solução?

Responde Aí!

Resposta

- 1

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2