Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

e ) lim x → + ∞ ⁡ x 2 e x

Passo 1

Faaaala meu povo, tudo bem com vocês?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → + ��� ⁡ x 2 e x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

E aí, pegaram a ideia?

Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, antes de tudo, vamos verificar qual o valor que a expressão dentro do limite deve tender quando x → ∞ . Assim, podemos verificar se esse limite atende ou não às condições para uso da regra de L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e x → ∞ ∞

Opaa! Temos ∞ / ∞ , portanto podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Começando pelo numerador, vem:

x 2 ' = 2 x

Agora no denominador, vamos ter:

e x ' = e x

Logo, temos um novo limite:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x e x

Puts, mas esse limite ainda possui a mesma indeterminação.

Então, vamos aplicar L’Hospital mais uma vez...

2 x ' = 2

E:

e x ' = e x

Assim:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x e x = lim x → + ∞ ⁡ 2 e x  

Como o numerador é uma constante, e o denominador tende a infinito, temos que:

lim x → + ∞ ⁡ 2 e x = 0

Portanto:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e x = 0

É isso aí pessoa, espero que vocês tenham entendido bem direitinho.

Até a próxima 😉

Resposta

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)