Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

d ) lim x → 0 + ⁡ x s e n   x

Passo 1

Oiiee, como vocês estão?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 + ⁡ x s e n   x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

Tranquilo?

Mas, para podermos verificar se o problema está dentro das regras de L’Hospital, precisaremos antes transformá-lo em uma fração. Pra fazer isso, a ideia é usarmos a propriedade das exponenciais que:

a = e ln ⁡ a

Show de bola! Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos usar a propriedade que comentamos no passo anterior para escrever:

L = lim x → 0 ⁡ x s e n   x = lim x → 0 ⁡ e x s e n   x

Pela propriedade do limite e continuidade, podemos jogar o limite para cima do expoente. Daí:

L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x s e n   x

Pela propriedade do logaritmo, podemos passar o expoente multiplicando o l n . Daí:

L = e lim x → 0 ⁡ ( s e n   x ) ⋅ ln ⁡ x

∴ L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 1 s e n x

Muito bom! Conseguimos colocar o limite de uma fração.

Temos que calcular:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 1 s e n x

Vamos substituir o valor que x está tendendo dentro do limite para verificar se cairemos em um dos casos da regra de L’Hospital.

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 1 s e n x = ln ⁡ 0 1 s e n 0

→ ln ⁡ 0 1 0 = 0 0

Opaaa, temos um caso 0 / 0 , vamos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Para aplicar a regra de L’Hospital precisamos derivar o numerador e o denominador do limite.

Começando pelo numerador:

ln ⁡ x ' = 1 x

Derivando agora o denominador:

1 s e n x ' = - cos ⁡ x s e n 2 x

Voltando tudo para o limite, vem que:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 1 s e n x = lim x → 0 ⁡ 1 x - cos ⁡ x s e n 2 x

= lim x → 0 ⁡ - s e n 2 x x ⋅ cos ⁡ x

Ainda continuamos com a indeterminação, então vamos aplicar L’Hospital novamente, derivando mais uma vez.

- s e n 2 x ' = - 2 s e n   x ⋅ cos ⁡ x

x ⋅ cos ⁡ x ' = cos ⁡ x - x ⋅ s e n   x

Daí, ficamos com:

lim x → 0 ⁡ - s e n 2 x x ⋅ cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ - 2 s e n   x ⋅ cos ⁡ x ( cos ⁡ x - x ⋅ s e n   x )

Agora sim, substituindo x = 0 dentro da expressão, temos:

lim x → 0 ⁡ - 2 s e n   x ⋅ cos ⁡ x cos ⁡ x - x ⋅ s e n   x = - 2 s e n 0 ⋅ cos ⁡ 0 cos ⁡ 0 - 0 ⋅ s e n   0

=   - 2 ⋅ 0 1 - 0 = 0

Portanto:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 1 s e n x = 0

Daí, voltando para L , vem que:

L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 1 s e n x

∴ L = e 0 = 1

Prontinho!!

Obrigado pela atenção e até a próxima 😊

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)