Calcule os limites abaixo usando as regras de L’Hospital.

(e) lim x → 1 ⁡ x - 1 2 1 + cos ⁡ ( π x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite usando as regras de L’Hospital. Lembra delas?

Essas regrinhas nos salvam em diversos casos, porque podemos aplicar L’Hospital sempre que nos deparamos com um indeterminação dos tipos ∞ ∞ , 0 0 , 0 ∙ ∞ , ∞ - ∞ , 1 ∞ e 0 0 .

No caso do quociente, a regra de L’Hospital vai nos permitir derivar a função no numerador e a função no denominador separadamente, e calcular o nosso limite em uma expressão mais simples. É isso que nós vamos fazer nesse caso.

Vamos lá!

Passo 2

Nós precisamos calcular:

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 1 + cos ⁡ π x

Repare que em x = 1 , nós temos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Pra escaparmos ilesos dessa, vamos aplicar a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo separadamente:

lim x → 1 ⁡ 2 ( x - 1 ) - π sin ⁡ π x

Continuamos tendo uma interminação em x = 1 , então vamos aplicar L’Hospital novamente:

lim x → 1 ⁡ 2 - π 2 cos ⁡ π x

Como cos ⁡ π = - 1 , aplicando o limite, temos:

2 - π 2 ∙ - 1

= 2 π 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 π 2

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)