Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

c ) lim x → 0 ⁡ 1 1 - cos ⁡ x - 2 s e n 2 x

Passo 1

Fala pessoal, tudo bom com vocês?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 ⁡ 1 1 - cos ⁡ x - 2 s e n 2 x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

E aí, pegaram a ideia?

Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar transformando a nossa expressão em uma única fração:

1 1 - cos ⁡ x - 2 s e n 2 x = s e n 2 x - 2 1 - cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x s e n 2 x

= s e n 2 x + 2 cos ⁡ x - 2 s e n 2 x - s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x

Voltando para o limite, temos:

lim x → 0 ⁡ 1 1 - cos ⁡ x - 2 s e n 2 x = lim x → 0 ⁡ s e n 2 x + 2 cos ⁡ x - 2 s e n 2 x - s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x

Se x → 0 , podemos substituir no nosso limite. Vamos ter:

lim x → 0 ⁡ s e n 2 x + 2 cos ⁡ x - 2 s e n 2 x - s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x = 0 + 2 ⋅ 1 - 2 0 - 0 ⋅ 1

= 0 0

Ou seja, uma indeterminação. Vamos aplicar a regra de L’Hospital. Começando pela derivada do numerador, temos:

s e n 2 x + 2 cos ⁡ x - 2 ' = 2 ⋅ s e n   x ⋅ cos ⁡ x - 2 ⋅ s e n   x

Já para a derivada do denominador, temos:

s e n 2 x - s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x ' = 2 ⋅ s e n   x ⋅ cos ⁡ x - 2 ⋅ s e n   x ⋅ cos 2 ⁡ x + s e n 3 x

Voltando para o limite, temos:

lim x → 0 ⁡ s e n 2 x + 2 cos ⁡ x - 2 s e n 2 x - s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ s e n 2 x + 2 cos ⁡ x - 2 ' s e n 2 x - s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x '

= lim x → 0 ⁡ 2 ⋅ s e n   x ⋅ cos ⁡ x - 2 ⋅ s e n   x 2 ⋅ s e n   x ⋅ cos ⁡ x - 2 ⋅ s e n   x ⋅ cos 2 ⁡ x + s e n 3 x

Podemos simplificar os senos no numerador e denominador. Assim, ficamos com:

lim x → 0 ⁡ 2 ⋅ s e n   x ⋅ cos ⁡ x - 2 ⋅ s e n   x 2 ⋅ s e n   x ⋅ cos ⁡ x - 2 ⋅ s e n   x ⋅ cos 2 ⁡ x + s e n 3 x = lim x → 0 ⁡ 2 ⋅ cos ⁡ x - 2 2 ⋅ cos ⁡ x - 2 ⋅ cos 2 ⁡ x + s e n 2 x

Fazendo x = 0 , temos novamente algo do tipo:

0 0

Assim, vamos precisar aplicar L’Hospital mais uma vez...

Passo 3

Temos o limite:

lim x → 0 ⁡ 2 ( cos ⁡ x - 1 ) 2 ( cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x ) + s e n 2 x

Derivando em cima e embaixo novamente, temos:

2 cos ⁡ x - 1 ' = 2 ⋅ ( - s e n   x )

Derivando o denominador, temos:

2 cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x + s e n 2 x ' = 2 ⋅ - s e n   x + 2 ⋅ cos ⁡ x ⋅   s e n   x + 2 ⋅ s e n   x ⋅ cos ⁡ x

=   - 2 ⋅ s e n   x + 6 ⋅ s e n   x ⋅ cos ⁡ x

Substituindo no limite, vem que:

lim x → 0 ⁡ 2 ( cos ⁡ x - 1 ) 2 ( cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x ) + s e n 2 x = lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x - 1 ' 2 cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x + s e n 2 x '

= lim x → 0 ⁡ 2 ⋅ - s e n   x - 2 ⋅ s e n   x + 6 ⋅ s e n   x ⋅ cos ⁡ x

Simplificando o - 2 s e n x no numerador e no denominador, temos:

lim x → 0 ⁡ 1 1 - 3 cos ⁡ x

Daí, substituindo o valor de x quando ele tende a 0 , temos:

1 1 - 3 ⋅ cos ⁡ 0 = 1 1 - 3

=   - 1 2

Portanto:

lim x → 0 ⁡ 1 1 - cos ⁡ x - 2 s e n 2 x = - 1 2

E é isso pessoal!

Obrigado pela atenção de vocês!

Até a próxima 😉

Resposta

- 1 2

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)