Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

c ) lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 2 x 1 x 2

Passo 1

Ooi galerinha, como é que vocês estão?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 2 x 1 x 2

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

Tranquilo?

Mas, para podermos verificar se o problema está dentro das regras de L’Hospital, precisaremos antes transformá-lo em uma fração. Pra fazer isso, a ideia é usarmos a propriedade das exponenciais que:

a = e ln ⁡ a

Show de bola! Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos usar a propriedade que comentamos no passo anterior para escrever:

L = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 2 x 1 x 2 = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ cos ⁡ 2 x 1 x 2

Pela propriedade do limite e continuidade, podemos jogar o limite para cima do expoente. Daí:

L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x 1 x 2

Pela propriedade do logaritmo, podemos passar o expoente multiplicando o l n . Daí:

L = e lim x → 0 ⁡ 1 x 2 ⋅ ln ⁡ cos ⁡ 2 x

∴ L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x x 2

Muito bom! Conseguimos colocar o limite de uma fração.

Temos que calcular:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x x 2

Vamos substituir o valor que x está tendendo dentro do limite para verificar se cairemos em um dos casos da regra de L’Hospital.

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x x 2 = ln ⁡ cos ⁡ 0 0 2

= ln ⁡ 1 0 = 0 0

Opaaa, temos um caso para aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador para aplicar o limite novamente.

Começando pelo numerador:

ln ⁡ cos ⁡ ( 2 x ) ' = 1 cos ⁡ 2 x ⋅ - s e n   2 x ⋅ 2

=   - 2 s e n   2 x cos ⁡ 2 x

Já derivando o denominador, encontraremos:

x 2 ' = 2 x

Daí, voltando para o limite, temos:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x x 2 = lim x → 0 ⁡ - 2 s e n   2 x 2 x

=   - 2 ⋅ lim x → 0 ⁡ s e n 2 x 2 x

Então, se substituirmos o valor que x está tendendo veremos que estamos novamente diante de um 0 / 0 , situação em que podemos usar L’Hospital.

Mas, do ponto atual, lembrando do limite fundamental da trigonometria:

lim α → 0 ⁡ s e n α α = 1

Logo:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x x 2 = - 2

Voltando para a nossa expressão principal, vamos ter:

L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x x 2

= e - 2

Então:

L = e - 2

E é isso galerinha! Espero que vocês tenham curtido.

Até a próxima 😉

Resposta

e - 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)